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第42回 行列の数学 正方行列

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柔道の技には左右があります。右利きの人は右技ばかりを稽古すればよいかというと,そうではありません。右技しかない,と相手にわかれば,相手は警戒して防御しますから技をかけることが難しくなります。試合では,左と見せかけて右,あるいは右と見せかけて左,やっぱり右,と駆け引きをします。実際には左右ばかりではなく8方向の技を交えていくわけで,フェイントをかけたつもりが相手の技の方向にはまって自滅,なんてこともあるのです。どのスポーツでも常に同じ方向,パターンではうまく行かないものです。

今回学ぶ正方行列は,裏に,表にと向きを変える行列です。方程式を解くとき,変数や係数をイコールの左右へ移動させるでしょう。行列の向きを変えるのは,まさにそのような仕事をするためです。今回の学習内容は,行列で方程式を解くための学習で必要な内容です。

図42.1 変幻自在が技を生かす

図42.1 変幻自在が技を生かす

正方行列

行列の行の数と列の数が同じ場合,その行列を正方行列※1といいます。

行数がnのとき,n次の正方行列といいます。

以下に2次から4次の正方行列の例を示します。

※1
square matrix

対角行列

n次の正方行列において,左上から右下にかけての一直線に並ぶ成分を対角成分といいます。次の式中で,四角の枠で囲まれた部分が対角成分です。

正方行列のうち,対角成分以外の成分がゼロの場合,その行列を対角行列※2といいます。

※2)
diagonal matrix

単位行列

対角行列のうち,対角成分がすべて1の場合,その行列を単位行列※3といいます。単位行列は,特別に記号Eで表されます。

※3)
identity matrix

転置行列

行列の行と列を入れ替えたものを転置行列※4といいます。行と列を入れ替える転置行列は,正方行列に限らず作ることが出来ます。単純に行と列を入れ替えるだけです。

行列の転置行列はと書きます。

特に,が成り立つ正方行列のことを対称行列※5といいます式42.11,42.12)。-=が成り立つ正方行列を交代行列※6といいます式42.13,42.14,42.15)。

対角成分以外の値がゼロである対角行列は,転置しても全体として行列の様子が変わりませんから対称行列であることがわかります。

※4)
transposed matrix
※5)
symmetric matrix
※6)
skew-symmetric matrix

著者プロフィール

平田敦(ひらたあつし)

地方都市の公立工業高等学校教諭。趣味はプログラミングと日本の端っこ踏破旅行。2010年のLotYはRuby。結城浩氏のような仕事をしたいと妄想する30代後半♂。

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