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第66回 微分・積分の数学 微分・積分とは

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微分・積分というと,日常生活には全く縁がないもの,と思われがちではないでしょうか。しかし,「速さ」「加速」あるいは「減速」,そして「移動距離」などと,歩いたり走ったり,自転車や自動車に乗っていれば,誰もが当たり前に使うこれらの言葉,考え方は,微分・積分と密接な関係があります。微分・積分は,私たちの日常生活に関わりが深い数学です。

しかし,例えば「エンジンの仕組みを知らなければ車に乗ることはできない」とか,「電気信号の処理方法を知らなければ電話をかけられない」なんてことはありません。むしろ,そんなことを意識しないで使えるからよいのです。でも,この記事に関心を持ってくださったあなたは,きっと「もう一歩突っ込んでみたい」という気持ちがあるはずです。ただ便利に使うだけではもったいない,と思うからこそ,数学やプログラミングに関心がおありのはず。コンピュータの助けを借りて,微分・積分をより便利に使う方法を知りたくはありませんか?思うでしょう!微分・積分とプログラミングをミックスすると,「こんな便利な道具を今まで使っていなかっただなんて」と思うはずです。では,はじめましょう。

図66.1 強力な助っ人,微分・積分

図66.1 強力な助っ人,微分・積分

微分・積分とは

微分とは

微分※1とは次のように定義される関数です。

式66.2によって,連続でなめらかな関数 f(x) の任意のxにおける微分係数※2)が定義されています。元の関数 f(x) から導かれた,という意味を込めて,この関数を導関数※3と呼びます。導関数を求めることを,微分といいます。図66.2に示すように, ⊿x がゼロに近づくと,直線はxにおけるf(x)の接線に近づきます。導関数を求める,とは,関数の接線の式を求めることなのです。

図66.2 微分とは

図66.2 微分とは

式66.2の左辺は,ライプニッツ流の記号です。と書くこともできます。簡略に表示するために,高校の数学では次のようにも表示することを学習しました。

式66.3の右辺をラグランジュ流の表記法といいます。長い式を書き下す場合に便利です。

※1)
differentiation
※2)
differential coefficient
※3)
derived function

積分とは

積分※4は,大きく2つに分けられます。1つは,座標平面上に関数が描くグラフと座標軸に囲まれた一定の部分の面積を求める方法で,これを定積分※5といいます。もう1つは,微分の逆の演算で,微分する前の関数を求める方法です。こちらを不定積分※6),あるいは「原始関数※7を求める」といいます。

図66.3 積分とは

図66.3 積分とは

(1)定積分

定積分について,もう少し具体的解説しましょう。例えば,図66.3(a)に示すように,ある曲線とx軸に囲まれた図形の面積Sを求めたいとします。どんなに複雑な形状の図形でも,細かくスライスすれば,長方形の短冊の集合に置き換えることができます。短冊の面積は「スライス幅×短冊の高さ」です。短冊の面積をすべて合計すれば,図形の面積とほぼ等しくなります。これが定積分の原理です。図形の形状を表す関数を f(x) ,図形をスライスする幅を ⊿x とすると,図形の面積は次の式で得られます。

このように,グラフ上のある部分の面積を,具体的な数値あるいは変数で示す方法が定積分です。

(2)不定積分

次に,不定積分について具体的な解説をします。

微分して f(x) になる関数を F(x) とします。このとき,次の式が成り立つとします。

このとき, F(x)f(x) の原始関数といいます。

定数項を含む式の微分をすると,定数項が消去されます。このことから,微分の逆演算である積分を行うと,定数項が表れるはずです。

この定数項 C積分定数※8)といいます。単純に積分しただけでは,この積分定数を決定できません。決定されない間は,積分定数を定数記号 C で表します。図66.3の(b)に示すように, ∫ f(x)dx で求められるのは,関数の描く曲線です。曲線が座標平面のどこに位置するのかは定数Cによって決まります。

G(x)は微分の逆演算によって得られた関数で,原始関数と一致するのはCがゼロのときだけです。

不定積分では,積分の開始値,終了値を明記しない式66.7のような書き方をします。このように,未決定な定数を含む原始関数を求める方法が不定積分です。

※4)
integral,integration
※5)
definite integral
※6)
indefinite integral
※7)
primitive function
※8)
integration constant

著者プロフィール

平田敦(ひらたあつし)

地方都市の公立工業高等学校教諭。趣味はプログラミングと日本の端っこ踏破旅行。2010年のLotYはRuby。結城浩氏のような仕事をしたいと妄想する30代後半♂。

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