【対談】『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』に先立って

第5回 圏論をきっかけにした展開

この記事を読むのに必要な時間:およそ 2 分
  • 日時:令和元年7月22日13時〜
  • 場所:東京大学工学部14号館にて
  • 『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』⁠2019年8月9日発売)に先立って

西郷甲矢人(さいごうはやと)
『圏論の道案内』著者の1人。1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学(非可換確率論)⁠
成瀬誠(なるせまこと)
西郷先生と近年一緒に研究をされていて,情報物理の観点から,圏論の応用に取り組んでおられます。東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻 教授。

対談風景

左:成瀬誠先生  右:西郷甲矢人先生

第5回 圏論をきっかけにした展開

西郷 ⁠圏論の道案内』の中でも言っているんですが,私は圏論それ自体の研究者でもないですし,応用圏論をしているというつもりも実はない。要するに,むしろある種の人文知というか,すべて人間がやっていることなんだからつながるはずだ。そういうつなげ方を明確にしようと思うと,それぞれの分野で圏論的な見方を進めることが役立ち,意外なつながりや思わぬ交流みたいなものができるだろうとすごく思っているんですね。実際,成瀬さんと私のあいだでもそうです。私は量子場の数理みたいなものに近いところでやっているし,成瀬さんも近接場光学,近接場の話は,結局は量子場の理論の話にしないと最終的にはいけないと思うし,難しいってさっきおっしゃった理由のひとつが,相互作用する量子場というのはまだ未完成であるということもあるわけですよね。だけれども,それだからといってなにも言えないわけではなくて,まず言えるところから少しずつ進めていこう,っていうふうな形でそのときに圏論という共通言語が浮かび上がってくる。すると,この圏論的な構造でもって他の分野ともつながれるということだと思うんですけれども。

成瀬 そうですね。

西郷 成瀬さんは,これまでNICT(国立研究開発法人情報通信研究機構)でやってこられて,今年から学生と触れてということがぐっと高まったかと思うんですが,そうすると,若い世代,年齢関係ないですが,キャリア的な意味で若い世代の方々と接し,余談なんかもふくめて圏論の話をされるときに,学生さんの反応であるとか,手ごたえとかそういうのはありますか。

成瀬 私自身,圏論を学んでよかったことの一つは,カーネル*38だとかコカーネル*39だとかイメージだとか,線型代数で習ったはずのことの理解の深まりですよね。非常に無味乾燥な,何の味もないようなものとしてしか解釈していなかったんですけれども,カーネルもコカーネルも非常に強烈な意味のある重要なものであって,それなしには私たちは存在できないくらいに重要なことなんですよね。そういうのを,具体例を持って説明すると,カーネルってそういうことだった,コカーネルってそういう意味だったんだっていうことで,やっぱり私と同じように初めて腑に落ちるというか,そういう部分はあるような感じはしますよね。

*38 カーネル
直感的にいえば,⁠AからBへの変換によって,BにおいてゼロになるようなAの部分」のこと。正確にはAからBへの射に対して定まるAへの射であってある種の普遍性をみたすものとして定義されるが,ここでは詳しく触れない。
*39 コカーネル
直感的にいえば,⁠AからBへの変換によって,Aから移った部分をBの全体から差し引いてまだ残っている部分」のこと。正確にはAからBへの射に対して定まるBからの射であってある種の(カーネルを定義するときと双対的な)普遍性をみたすものとして定義されるが,ここでは詳しく触れない。

西郷 線型代数というものが例えばはじめて腑に落ちた,その理解が一段,二段,深まる。それは明らかなメリットですよね。この本では残念ながら,カーネルとかコカーネルまでは触れていないんですが,その一歩手間,つまり,直和*40とか直積*41そこでなぜ行列表示が可能か,ここではもし数学に興味がおありの方はぜひこの普遍性という章の線型代数のところを見ていただくとびっくりされると思うんですね。行列が成分が数とは限らず射である,射を成分にしちゃった,射を成分,関係性を成分とする行列があり,それで行列の計算ができる。

*40 直和
本書参照。直感的にいえば,AとBの直和とは,AとBを必要十分な形で「総合」したもの。
*41 直積
本書参照。直感的にいえば,AとBの直積とは,そこから「分析」するとAとBが必要十分な形で導かれるもの。

行列表示

『圏論の道案内』169ページより抜粋

非常に衝撃的じゃないかと思うんですね。もちろんその特殊,射の特殊例が数ですので,もちろんふつうの線型代数も入ってくるんですけれども。ここではそれをとりあげる手前のところで終わってしまったんですが,他社の宣伝で申し訳ないんですが,月刊『現代数学』⁠現代数学社)「しゃべくり線型代数」という連載がありまして,今年か来年のうちにはカーネルの話ができるんじゃないかな。まだモノイド*42といいまして,負の元がない世界を展開していて,線型代数がモノイドでどこまでできるかやっています。その後,負の元のある世界,つまり「加群」*43とか「環」*44の話にいくつもりです。

*42 モノイド
圏論的に定義すれば,ただ一つの対象をもつ圏をいう。あるひとつの「もの」に対する操作の全体というものはモノイドと思える。力学系といわれるものは概ねモノイドの話と考えればよい。
*43 加群
本書参照。大まかにいえば,足し算や引き算を備えた数学的なシステム。
*44 環
本文参照。大まかにいえば,足し算,引き算および掛け算を備えた数学的なシステム。

成瀬 負の要素があるとなにがよいのですか。

西郷 例をあげましょう。方程式でいうと,みなさん二次方程式というと標準形といってax2+bx+c=0みたいに書けることが当たり前と思っているんですが,あれは負の元があるからああいうふうに書ける。負の要素がない時代には,形をいろいろ分類しないとできない。方程式の根を「いろいろあって0になるもの」と統一的にとらえられるのは負の要素のおかげです。方程式というのは,この本でも出てきますが,イコライザという概念で捉えられるんですが,イコライザ*45っていうものをゼロっていうある意味単一なものに還元できるかといわれると,モノイドじゃだめで,群までいかないといけない,ということなんです。そこでカーネルが出てくる。カーネルっていうのは,いつもあるものじゃないんです。つまり,それは特殊例で,カーネルのない圏もいっぱいあるんです。カーネルが定義できる圏は,異常なまでに話がはやい。線型代数において,カーネル,コカーネルが重要なのは,もしそれがなかったら,膨大な場合分けをしなければならなかったものを,すべて統一的に落とし込めるという超衝撃的な事態があるからなんです。それゆえにそれがもし使える場合には,ものすごい威力を発揮する。それが線型代数の大事なポイントだろうと思うんです。

*45 イコライザ
本書参照。直感的にいえば,AからBへの二つの射f, gのイコライザとは,それらを等しくするようなAの部分を言う。言い換えれば,方程式f(x)=g(x)の「解」⁠本文中においては解という漢字の上にイコライザとルビをふった。

成瀬 僕らが意思決定の研究で取り扱っているのは,アーベル圏*46で,故にカーネル,コカーネルを扱っていい,そういうことでいいですね。

*46 アーベル圏
線型代数(加群に関する線型代数)が展開できるために必要十分な構造を備えた圏。

西郷 そのとおりです。アーベル圏の構造があれば,実はそのつもりがなくても負の要素が入る。すべての圏がアーベル圏であるというのは間違いで,そこはよく警戒しておく必要がある。圏論だからといって常にアーベル圏の議論が成り立つというわけじゃないことには注意する必要があるんですが,もしそのアーベル圏の公理をみたす場合は非常に強力な計算ができる。あるいは,三角圏の公理なんかが満たされていた場合には,計算がものすごくできるようになる。ですから,圏論というと概念の話で計算じゃないじゃないと思うかもしれませんが,ある種の公理を満たした瞬間には,膨大な計算を可能にしてくれるものでもあって,ですから,成瀬先生とか堀先生が着目されているのは計算,つまりカリキュラス*47ができる構造なんだろうと思います。いままでふつうにカリキュラス,計算ができないと思われていたところに,新しいトポロジー的なカリキュラスができるようにしようという,その試みだろうなと私は思っていて,私自身も理解が及ばない面もあるんですが,非常に期待し,また少しでもお役に立てればなとは思っています。

*47 カリキュラス
計算法のこと。狭義には「微積分」を指すことが多いが,ここではより緩く「有効な計算法」という意味で使っている。

最終回,『センス・オブ・ワンダー』に続く……

著者プロフィール

西郷甲矢人(さいごうはやと)

1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学(非可換確率論)。