【対談】『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』に先立って

第6回(最終回) センス・オブ・ワンダー

この記事を読むのに必要な時間:およそ 2 分
  • 日時:令和元年7月22日13時〜
  • 場所:東京大学工学部14号館にて
  • 『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』⁠2019年8月9日発売)に先立って

西郷甲矢人(さいごうはやと)
『圏論の道案内』著者の1人。1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学(非可換確率論)⁠
成瀬誠(なるせまこと)
西郷先生と近年一緒に研究をされていて,情報物理の観点から,圏論の応用に取り組んでおられます。東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻 教授。

対談風景

左:成瀬誠先生  右:西郷甲矢人先生

第6回(最終回) センス・オブ・ワンダー

成瀬 圏論関係の取り組みを発表するときのFAQ(よくある質問)に,それって圏論を使わなくてもいいんじゃないですか,というのがあります。最適化に役に立つとか,自動的な設計に役に立つ,デザインに役に立つとか,そういう手近なメリットがすぐに期待されてしまう。お手軽に使えてさっと役に立つみたいな。そういうような見方からの質問,よくありますね。それで,最適化だとか自動的な設計まで研究は進展していないんですけれども,いろんな実践例を示していくということはやりたいなとは思っているんです。ただ,私がやっていることは西郷先生と似ていまして,やっぱり,sense of wonderということなんですよね。非常におもしろい。見方が広がる。面白いからやっている。そういう新しい見方ということもひとつオリジナリティだと思うんですがどうですかね。そこでひとつの学術の結果を残すということでも意味があることではないか。それは何の役に立つのですかっていわれて「今日は役に立ちません。だけれどもこういう見方もある」というくらいな勢いで元気があった方がよくないですかね。いつの日か大どんでん返しがあるかもしれませんし……。

西郷 成瀬先生がおっしゃっていることは非常に重要なことで,ひとつはシステマティックに何かをやるとか,自動化するというのは,実に圏論は役に立つと思います。それが一番大事なポイントだとは全然思わないんですけれど,だれもが認めざるをえない,くだらないけれども絶対メリットといわざるをえないところがあって,無意味な繰り返しをしなくて済む,圏論的に示しておけば,同様の作業を全部消去できちゃうということころはある。たとえば,終対象*48始対象*49有限極限*50有限余極限*51というのはどんな圏でも,もしあるならば同型を除いて一意。つまり,他にもあるかもしれないけれども互いに同型であることを示せちゃっているので,いちいちこれをくり返しやる必要はない。証明が100分の1にも1000分の1にも短くできる。そういうのはあるんですね。ですから,いま証明の話でやりましたがよくご存知のように,証明と計算は基本的には同じことですから,もし圏論的なやり方で計算をする場合は,今までの膨大な計算量を大幅に削減できたりするシステマティックなもの,その可能性は絶対にあると思います。

*48 終対象
「任意の対象からそこへの射がただ一つ定まるような対象」⁠詳しくは本書参照。
*49 始対象
「任意の対象へそこからの射がただ一つ定まるしょうな対象」⁠詳しくは本書参照。
*50 有限極限
本書参照。終対象や直積などがその例となる。⁠そこへの射がただ一つ定まる」といった普遍性をもつ。
*51 有限余極限
本書参照。始対象や直和などがその例となる。⁠そこからの射がただ一つ定まる」といった普遍性をもつ。

なんですが,ここからは成瀬先生がおっしゃった言葉に大賛成なんですが,それは一番大事な点じゃない。大事だけれど,好きな人はやったらいいけれど。

成瀬 好きな人はやってねと。

西郷 私自身はあまりそういうところで勝負をしたくない。私はよく言うんですが,圏論は役に立つんですか?と言われたら「役に立たないですよ」と本当は言いたい。というのは,何か狭いことだけ,その分野ならばその分野だけでしのぎを削って1番になりたいというタイプの人には,たぶん永遠に役に立たない気がするんです。

成瀬 そうですね。それ学んでノーベル賞に一歩近づけるんですかとか言われると,たぶんそんなことはないとはいえないけれども,まあ考えにくい感じはしますね。なかなか言い方が難しいところですが。

西郷 歴史的にみても,たとえ数学の中であっても狭く細分化されてきている。それどころか,基本的にどんな学問も細かくなっていきます。その1個1個の枝の頂上に行こう,っていうのではなくて,むしろ根っこへ戻ってすべての枝に共通したものはなんだろう,枝と枝を行ったり来たりすることはできないだろうか,そういう考え方をちょっとでも持ってしまう人,こういう人には圏論をお薦めしたいと思うんですね。全然別の分野に興味をもっちゃう,それがなんでいけないことになっちゃうんだろう,無駄なことと思われてしまうんだろう。たしかに私はプログラミングとかできないし,ちょっと本には書いていますが,全然情報とか計算とは無縁に生きてきたので,知識もないけれど,でもどんなことが今行われているんだろうかというのは興味をもつわけですね。そんなおもしろいことが!と。

そのときに,それが圏論的な形でお互い定式化しておけば,なるほど,これがこれにあたるんですね,数学者かもちろん学者というのはたいてい他の分野の話,知識はほぼないですね。⁠博士」という称号に関して夏目漱石が言っていましたけれども,博士,博い士というけれども,じつは博くない,ものすごい狭い,だから,狭士とでもいうべき(笑)⁠

正直我々も自分の分野のここしか知らない,となるんだけれども,ただ数学というのは面白くて,違う分野の話も聞けるんです。聞けるというのは,カントルが開いた集合論が共通言語の役割を果たしているからです。そんな共通言語として,いま圏論がどんどん浸透してきているし,たぶんこれから数学をも超えていくだろうと思います。圏で語れば細かいことはわからないけれどもだいたいこういうことだと,だいたいですむことはだいたいでいい。それを研ぎ澄ましていきたいときはもちろんその分野それぞれテクニックがあるんだけれども。そういう感じですね。

成田(技術評論社。編集者) だいぶ熱が入ってきましたね。

西郷 では本日の対談はこれくらいにしますか。

成田 面白かったです!わたしでももしかしたら圏論分かるかもって思いました!

西郷 それはよかったです。では今日はこのくらいで。飲みにいきますか。

成瀬 いきましょう(笑)⁠⁠指数関数ものがたり』⁠西郷・能美,日本評論社)に登場する京都の素敵なお店,すべて連れていってくださりありがとうございました。このあたりでもそういうお店を探したいのですがなかなかなくてですね……。

西郷 ではここらでも新たな探求しますか。

最後までお読みいただき,ありがとうございました。

著者プロフィール

西郷甲矢人(さいごうはやと)

1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学(非可換確率論)。