瀬山士郎先生の 数学よもやま話

第8回 続・モンティホールの問題

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前回に続いて,モンティ・ホールの問題について考える。問題は次の通りだった。

3つの箱があり,1つに賞品が入っていて,残り2つは空箱である。解答者が1つの箱を選ぶと,どの箱が当たりか知っている出題者が,残った2つの箱のうち空箱を開けて見せ,箱を取り換えてもいいという。取り換えたほうがいいだろうか。

答えは「取り換えた方がいい」⁠取り換えると当たる確率は2/3に増える。多くの人が,残った箱は2つ,どちらかが当たりなのだから,当たる確率はいずれにしても1/2でうっかり出題者の口車に乗らなくても当たる確率は同じで1/2だ,と考える。しかしこれは間違い。これはこう考えると分かりやすい。解答者が1つの箱を選び,出題者は残った2つの箱を選んだと考えるのである。もちろん出題者は2つの箱を選んだのだから,当たる確率は解答者の2倍である。ただし,出題者の選んだ2つの箱のうち片方は空箱なのだが,そのことは最初から解答者にも分かっているのだから,出題者が空箱であることを知っている片方の箱を開けても開けなくても,確率に影響は与えない。したがって,解答者の当たる確率は1/3,出題者の当たる確率は2/3である。

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この問題はうまくできている。箱の数3が微妙に効果的なのだ。これを100個の箱にしてみるとよく分かる。解答者は1つの箱を選び,出題者は残りの99箱を選ぶ。そのうち98箱は空箱で,それは事前に解答者も知っているし,出題者はどれが空箱なのかも知っている。出題者が空箱98個を開けて見せると解答者の当たる確率は1/2に上がったか? そんなことはない,出題者が箱を開けようが開けまいが,解答者の当たる確率は1/100のままで,残った箱に当たりがある確率は99/100である。箱の数が3個だと,それが巧みにカバーされているのである。

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著者プロフィール

瀬山士郎(せやましろう)

1946年群馬県生まれ。1970年東京教育大学大学院理学研究科終了。専門は位相幾何学,グラフ理論。

1970年群馬大学教員となり,2011年定年退職。群馬大学名誉教授。数学教育協議会会員。

主な著書に「バナッハ・タルスキの密室」(日本評論社,2013年)「読む数学」(角川ソフィア文庫,2014年)「はじめての現代数学」(ハヤカワ文庫,2009年)「幾何物語」(ちくま学芸文庫,2007年)「無限と連続の数学」(東京図書,2005年)「トポロジー:柔らかい幾何学」(日本評論社,2003年)「計算のひみつー考え方の練習帳」(さ・え・ら書房,2004年)「数学 想像力の科学」(岩波書店,2014年)などがある。

コメント

  • ご回答

    お読みくださってありがとうございます。
    本コラム(第7回、第8回のモンティホールの問題)につきましては、第7回に記してございますように、
    中学生でも分かってもらえるように直感的に説明しています。
    そのため条件付き確率には触れませんでした。
    ご容赦くださいますよう、何卒よろしくお願いいたします。

    Commented : #2  編集部 (2017/10/05, 10:08)

  • ベイズのトンデモ説明

    私は、社内講師や日科技連のデータサイエンスの講師をしております。
    その中でベイズの解説も行いますが、キチンと「ゲーム参加者がAを選択し、Cが当たりのとき、司会者がBを開ける確率は、・・・」とケース毎に条件付き確率を説明していきます。
    しかし、このコラムは違います。この説明はひどいです。
    執筆者は、条件付き確率が何たるかが、全く分かっていないのだと思います。数学者がこんな説明を堂々としていることが、むしろ恥を晒していることになり気の毒に思います。
    編集者の方がチェックできなかったのでしょうか。

    Commented : #1  吉野睦 (2017/09/30, 04:12)

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