書籍『ピタゴラスの定理でわかる相対性理論』の補講

第6回 光と電磁波

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光とはなんぞや、光の数式表現に挑戦

『ピタゴラスの定理でわかる相対性理論』の第7章は,本書のクライマックスです。第6章まではユークリッド幾何を超えて創られた双曲幾何が,人工的なものにも思えたのですが,第7章ではこの宇宙を支配する時間を含めた4次元空間に,双曲幾何が潜んでいることを明らかにしています。そして第7章の物語の主役は,アインシュタインです。

1895年,彼が16歳のときにアーラウで得た疑問は,次のようなものでした。

「もし光速度で光の波を追いかけたら,光の波は静止して見えるだろうか。まさかそのようなことが起きるとは思えない。」

1887年にマイケルソンとモーレイの実験によって,光の波の速度は,観測者の速度によらないで,一定の秒速30万キロメートルであることが判明していました。

それ以前の1864年には,マックスウェルは電磁波の存在を予想したばかりでなく,その伝播速度の計算結果があまりにも光の速度に近いことから,1871年にはまだ発見されていなかった電磁波は,光と基本的に同じものだと主張しています。

今日では,光は周波数の大変に高く波長の短い電磁波だということはよく知られています。可視光は,波長で1ミクロン(千分の1ミリメートル)より短い0.35~0.8ミクロンの範囲です。あとで実験を語る電磁波の波長は,ほぼ100メートルです。

ヘルツが電磁波を実験で実証したのは,1888年です。20世紀が明けて1905年,アインシュタインが,光速不変を公理とした新しい物理学の基本を示しました。それが相対性理論です。

今回は電磁波とそれに関係する基本的な数学表現について,身近な電線を取り上げて語ってみようと思います。

相対性理論の多くの本には,光とは何ぞやという基本的な問題をあまり書いていないのですが,それは使う数学が高度になることが要因かと思います。苦言になるのですが,数学をきちんと使いこなして読者を説得させるという著者の技量が足らないように思われます。

『ピタゴラスの定理でわかる相対性理論』では,あえて難しそうな数式を幾何学のために使ってみたのですが,分かりやすく噛み砕く工夫は怠りませんでした。そのことに満足を感じてくださった読者が多いようです。それでも,微分や積分は使いませんでした。

ここでは微分,しかも偏微分というものをあえて使うことにしますが,詳しい説明は割愛します。理系ですと大学1~2年の科目だからですし,高校の学ぶ微分の延長に過ぎないからです。

波の動きを表現する

波動を目に見える形で表すには,図1のような楽器の弦があります。弦の長さが比較的短くて2つの端が固定されている状況では,指ではじくと定在波がおき,これが空気に伝播して音として聞こえます。

図1 弦に発生する定在波

図1 弦に発生する定在波

長い弦を想定してその一部を,例えば図2のような山形にして解き放つと,山の高さが半分ずつのになった形が,右と左に伝播します。これが基本的な波動です。

図2 弦に伝播する波動

図2 弦に伝播する波動

(b)弦に伝播する非分散性波動は左右に形を変えないで進行し,固定端で裏返って反射する。音波は壁で反射する。

この波動の挙動を支配する微分方程式は,次のようなものです。

ただし,y=弦の変位, σ=弦の単位長さあたり密度,T=弦の張力です。

このように,ある物理量の時間の2階微分と空間の2階微分が正の比例関係になるとき,比例係数の平方根が,波動の伝播速度vになります。

仮に,1mあたり1g(=0.001kg)の弦に,10キログラム(98.7ニュートン)の重量の錘をつるした場合に相当する伝播速度は316m/sです。光速に比べて,ほぼ百万分の1の速度です。

弦の両端が固定されていると,そこで反射が起き波が跳ね返り,左右に行き交う波動が重なりによって定在波になります。音波の場合には,壁が硬いとそこで跳ね返って残響となります。また壁がやわらかいと,吸収されてこだまが無いので残響がありません。

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