書籍『ピタゴラスの定理でわかる相対性理論』の補講

第11回 電磁界のエネルギーについてアインシュタインはこう考えた

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前回はアインシュタインの1905年9月のAnnalen論文の全訳と解説を提供しました。解説の中で次のように書きました。

マイケルソン-モーレイの実験から,アインシュタインが時間や距離に関して当たり前ではない結論を導いて6月論文を書き,その後も思考と計算に没頭してさまざまな理論的帰結を得ながら,当たり前ではない公理から驚くべき物理の法則を導いたのです。この論文はきわめて短く,序論のようなものはほとんどありません。単刀直入です。しかし難解なのが定数Cに関係する論理です。本来なら丁寧に書きたいあるいは書くべきものがあったと思うのですが,省いています。

こう書いたあとで,あれこれと考えたのですが,このときのアインシュタインの洞察は広範にわたってそれぞれで深いものだったのだな,と思うようになりました。その中の一つが9月論文の最初に出てくる

です。

光や電磁波のエネルギーは系と系では違った値として観測されるのですが,その関係を与えるのがこの式です。系で観測されるエネルギーがl で,速度vで運動している系ではl' です。今回は,この関係がどのような論理で得られるのか説明しようと思います。

これを前提の一つとしてE=mc2が導かれたのですから,私どもは(1)式が導かれるプロセスを理解したいと思うわけです。実はこの式の誘導は6月論文に克明に記述されているのですが,その部分を前回のように翻訳して説明しても決してわかりやすいプレゼンになりそうもありません。

そこですこし違う論理にします。しかもの基本的な場合に限ってみたいと思います。つまり,図1のような設定で次の関係を証明するというか導いてみましょう。

図1 t=0で物体が光や電磁波の放射を開始したとき両座標系の原点は一致している

図1 t=0で物体が光や電磁波の放射を開始したとき両座標系の原点は一致している

まず,第6回 光とは何ぞや表1に示されている式からスタートします。ここで再掲して説明を補足したいと思います。

表1 (再掲)時空と電磁界のローレンツ変換

 変数ローレンツ変換式
時空x:位置
t:時刻
電磁現象E:電界強度
B:磁束密度

相対性理論の一般的な読み物にしても入門書でもそうですが,この表の①と②のことはよく書いています。しかし③④について書いてある本はまれです。つまりほとんどの相対性理論の語り口は,ニュートン力学の時間の概念を作り変えて位置と時間と速度の関係を書き換えたという物語です。

その当時の物理学は,ニュートン力学とマックスウェルの電磁気学が2つの柱でした。アインシュタインの3月論文は,今でいう光量子の概念を提出しQuanta(量子)という用語がしきりに出てくるのですが,これが認められるまでに15年ほどかかっていますので,3番目の量子力学という発想はまだありませんでした。

ベッソーとの議論

この論文とブラウン運動に関する論文の後だと思われる1905年の早春,アインシュタインはニュートン力学と光の性質とのあいだの矛盾を解こうと全力を注いで考えていました。

ベッソーに議論の相手になってくれるように頼み,いろいろの側面から集中的な議論を続けました。時間に関するErnst Machの説も重要な思考素材でした。

当然のことながら,アインシュタインの研究家はこの当時のことに大きな関心をもって書いています。FoxとKeckのEinstein A to Z によると,ベッソーとは17日間議論したということです。

Denis BrianのEinstein-a life によると,最後の晩のベッソーとの議論でも疑問が解消できず,既知の実験事実からは真の物理法則を見つけることは無理だろうと思って疲れ果ててアパートに戻ります。しかし翌朝,アインシュタインの頭のなかで嵐が吹き始めて答えが出てきて,最後のジグソーパズルが解けたとされています。そして,ベッソーには淡々と「(昨日は)ありがとう。問題がすっかり解けたんだよ」と語ったのですが,どのような解であるかはそこでは話していなかったようです。というよりもそれは不可能だったと筆者は思います。

頭のなかで統合したのが一瞬であって,それを整然とした論文にするのには数カ月を要するのが普通です。しかし,彼は数週間で6月論文を書き上げました。

この論文の最初に,ファラディーの電磁誘導が磁界とコイルの相対運動によるものとして引用していることから推測すると,さらにエーテルの仮説を排除してマックスウェルの電磁方程式をよく考察すると,座標系によらずに電磁波の速度がcになることを確認して,時間の概念について書き換えられなくてはならないのはニュートン力学だ,という結論に達していたのだと考えられます。

この思考のプロセスを経て,時空と電磁現象が共通の性質をもっていることをアインシュタインは提唱したのです。それをまとめたのが表1です。③と④が電界と磁界の関係ですが,図1を見てください。ここには光の平面波のイメージとして赤の縞模様を使い,電磁波のイメージも脇に描いてみました。磁界と電界は,互いに直角のベクトルの関係にあって,同じ位相の正弦波で伝播します。伝播の方向は両者に直角の向きです。

表1の4個の式は,いずれも物体の質量には言及していません。しかし9月論文では,時空と電磁現象とを統合して論じて,質量mと放射(光や電磁波)エネルギーの関係を導き出しました。そのときに前提としたのが(1)式の関係です。図1のようにのときには(2)式になります。

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