書籍『ピタゴラスの定理でわかる相対性理論』の補講

第13回 ピタゴラスの定理に宿される秘儀―エネルギーと運動量に関係する法則

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まえがき

アインシュタインは,光とは何かについて鋭い洞察をしました。光は波動であることが当時は実験によって証明されていたのですが,アインシュタインは粒子の性質をもつことを光電効果の現象から突き止めて1905年に論文を発表しました。

前回はこれを語ったものです。光が粒子の性質を示す現象のひとつとして,短波長のX線を物質にあてたとき,散乱してくるX線の波長入射X線の周波数よりも低くなるのですが,これをアメリカのコンプトンが確かめたのが1923年のことです。この年にはフランスのド・ブロイが電子にも波動の性質をもつことを指摘しました。

アインシュタインがこれに強い関心を抱いたのは当然ですが,光電効果とド・ブロイの仮説をもとに新しい波動力学を提唱したのがシュレディンガーで1926年のことです。

今回は,思い切って,アインシュタインの相対性理論とシュレディンガーの波動力学のつながりを語ってみようと思います。ここで「思い切って」というのは逡巡した後に決意したという意味です。なぜ迷うかというと,ここでは歴史的経緯をいちど忘れて,相対性理論の不変量の形式と数学的なテクニックを紙上で演じることによって,電子の波動とはこんなものだろうという論理をいわば見城流に展開することになるからです。しかし,電磁波と電子の波動がどのように違うのかを明らかにします。

前々回前回は,E=mc 2 に関する考察をしてきましたが,ここでは,この法則の一般形といえる(ピタゴラスの定理の形をした)不変量の関係式から展開します。

数式が多くなりますが,最後には計算ソフトウェアによってアニメーション化して,なるほどこういうことだったかと,納得していただきたいと思います。

エネルギー不変量から

補講6で電磁界の不変量というものを見てきました。それは,磁界B と電界E に関するもので次式の不変量に関する関係です。

これは時空の不変量

に対応するものです。

特殊相対性理論では,このほかにもいくつかの不変量があります。エネルギーE と運動量p に関する不変量について多くの専門書には次のように記されています。

ここで,不変量としてのm0 は静止質量,c は光速度です。

(1)式ではE は電界強度の意味で使われるのですが,(3)式ではエネルギーです。

(3)式の左辺の-E 2 を右辺に符号を変えて移動し,右辺の-(m0c 2 ) 2 を符号を変えて左辺に移動すると次式がえられます。

これは図1の直角三角形の関係になります。つまりピタゴラスの定理の式になります。

図1 運動量と静止エネルギーに関する直角三角形の関係

図1 運動量と静止エネルギーに関する直角三角形の関係

以降では左辺と右辺を入れ替えて

の形から再出発します。

  • アインシュタインは数学者というよりも物理学者であり,運動量についても深く考えていました。剛体の運動量だけなく電子の挙動と磁気に関する運動量も考慮して運動量保存則を拡張して考察し,実験を行ったことがあります。アインシュタイン唯一の実験を主体とした論文が磁化と回転運動に関するものでありアインシュタイン・ドハース効果として知られています。
  • 高校の物理(ニュートン力学)では質点の力学では運動量とエネルギーについて学び,運動量保存の法則とエネルギー保存の法則があることや,この2つの法則を使って大学受験の問題を解いたことなど思い出すことと思います。
  • 高校の物理では速度v で運動する質量m の質点の運動量はmv です。大学の物理で学ぶように質量のない光子にも運動量があって,そういう場合を含めてp と記します。

コラム1

δが1よりもずっと小さいときには

よって

ピタゴラスの定理でわかる相対性理論9.7 開けてしまったパンドラの箱のところに,相対性理論のエネルギーとして

と書いています。ただし,m0 は静止質量です。この式は意味深長ですので,ここでもう一度証明しておきます。(4)'を変形します。

負のエネルギーについては考えないことにして,p m0 に比べてずっと小さいものとしてコラム1を参照して次式を得ます。

質点の場合にはpm0v であるから先の(5)式になります。

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