前回のベクトルの内積に続いて，今回は外積を学ぶ。外積はふたつのベクトルのどちらにも，垂直なベクトルを求める計算だ。ふたつの（平行でない）ベクトルで，ひとつの面が定められる。したがって，ベクトルの外積は，面に垂直なベクトルを導くともいえる。お題としては，第50回「立方体の4面にテクスチャを貼って上下左右に回す」のスクリプト3に手を加える。
回転の軸を定める
第50回スクリプト3は，「3次元空間で上下左右に回す立方体の4面にテクスチャマッピング」した（第50回図1再掲）。今回，この動きはそのままに，回転の内部処理を書替える。第50回のスクリプトは，マウスポインタを水平に動かすとy軸で，垂直に動かすとx軸で回した。そして，斜めの動きは水平軸と垂直軸に分けて，3次元空間座標を回転した。今回はふたつを分けずに，回転軸そのものを動かそう。
図1 上下左右に回した立方体に面の前後を整えて塗る（再掲）
幸いにして，Matrix3D.appendRotation()メソッドに渡す第2引数の回転軸はxyz軸（Vector3Dクラスの定数）にかぎらない。長さ1のVector3Dオブジェクトで回転軸を自由に定められる。
Matrix3D.appendRotation（回転の角度, 回転軸のVector3Dオブジェクト）
そこで考えなければならないのは，回転軸をどのようにして決めるかだ。マウスポインタを動かした方向だなどと，早とちりしてはいけない。マウスポインタに合わせるのは回転の動きであって，求めたいのは回す中心軸なのだ。
現に，マウスポインタをx軸方向に水平に動かすとy軸で回し，y軸の垂直方向に動かしたときはx軸で回転した。つまり，マウスポインタの動きと回転軸は，互いに垂直になる。もっとも，まだこれでは足りない。3次元空間では1本の直線と（ある点で）垂直に交わる直線は無数に考えられるからだ。たとえば，xy平面上の原点（0, 0）を通る直線なら，3次元空間ではすべてz軸と原点（0, 0, 0）で垂直に交わる。
初めにほのめかしたように，ふたつの（平行でない）ベクトルでひとつの面が定められる。そして，その平面と（ある点で）垂直に交わる直線は1本に決まるのだ。つまり，マウスポインタを動かした方向に加えて，ベクトルがもうひとつ要る。それはz軸だ。
ベクトルの外積から垂直な線を求める
マウスポインタの動きとz軸というふたつのベクトルが決まった。これで外積が求められる。ふたつのベクトルをAとBとすると，外積は「A×B」で表される。ただし，ベクトルの掛け算ではない。外積A×Bは，ベクトルAとBのどちらにも垂直なベクトルを表す（図1）。
図1 外積はふたつのベクトルに垂直なベクトルを表す）
ベクトルは大きさと方向をもつ。もっとも，今回のお題では，外積は回転軸を定めるために使う。すると，大きさはどうでもよい。だが，方向は気にしなければならない。ふたつのベクトルに垂直な直線は1本に決まっても，ふたつの方向がありえるからだ。回転軸の方向が逆になると，回る向きも反対になってしまう。
したがって，ベクトルの外積では，計算の順序が大切になる。外積A×Bでは，ベクトルAからBの方向にドライバーを回すと想像してほしい。普通使われる右ネジは，時計回りに締める。その右ネジの進む向きに，外積A×Bのベクトルは定められている（前掲図1）。
さて，外積を求めるのはVector3D.crossProduct()メソッドだ。参照するVector3Dオブジェクトに対して，もうひとつのVector3Dオブジェクトを引数として呼出し，戻り値は外積のVector3Dオブジェクトになる。
Vector3Dオブジェクト.crossProduct（もうひとつのVector3Dオブジェクト）
ここまでのところで，前回学んだ内積を求めるVector3D.dotProduct()メソッドとの違いはふたつある。まず，Vector3D.dotProduct()メソッドの戻り値は数値で，Vector3D.crossProduct()メソッドは外積のベクトルであるVector3Dオブジェクトを返す。つぎに，メソッドの参照と引数のふたつのVector3Dオブジェクトを入替えたとき，内積の戻り値は変わらないのに対して，外積が返すVector3Dオブジェクトはベクトルの方向が逆になる。
第50回スクリプト3の中で今回手を加えるのは，DisplayObject.enterFrameイベントのリスナー関数（xRotate()）と座標変換の関数（xTransform()）のふたつだ。修正を終えたフレームアクション全体は，後でスクリプト1として掲げる。
まず，DisplayObject.enterFrameイベントのリスナー関数（xRotate()）は，回転の軸と回転角の大きさを計算する。そのために，マウスポインタのxy座標から，回す方向のVector3Dオブジェクト（mouseVector3D）を求める。そして，z軸（定数Vector3D.Z_AXIS）と回す方向のふたつのベクトルの外積から，回転軸のVector3Dオブジェクト（axisVector3D）を得る。回転角の大きさは，回す方向のベクトルの長さ（Vector3D.lengthプロパティ）をもとに計算した（nRotation）。
こうして求めた回転の軸（axisVector3D）と回転角の大きさ（nRotation）は，座標変換の関数（xTransform()）に渡して呼出す。したがって，この関数の引数と処理内容を少し変えることになる。なお，Vector3D.normalize()メソッドは参照するVector3Dオブジェクトの方向はそのままで，長さ（Vector3D.lengthプロパティ）を1にする。
// フレームアクションを修正
function xRotate(eventObject:Event):void {
// var nRotationY:Number = mySprite.mouseX * nDeceleration;
// var nRotationX:Number = mySprite.mouseY * nDeceleration;
// 回す方向のベクトルを求める
var mouseVector3D:Vector3D = new Vector3D(mySprite.mouseX, -mySprite.mouseY, 0);
// z軸と回す方向のベクトルとの外積を求める
var axisVector3D:Vector3D = Vector3D.Z_AXIS.crossProduct(mouseVector3D);
var vertices2D:Vector.<Number> = new Vector.<Number>();
var nRotation:Number = mouseVector3D.length * nDeceleration;
axisVector3D.normalize(); // ベクトルの長さを1にする
// xTransform(vertices2D, nRotationY, nRotationX);
xTransform(vertices2D, nRotation, axisVector3D); // 引数を変更
xSetOrder();
xDraw(vertices2D);
}
