集合と要素　のつづき

前回は集合の定義の方法，そして集合をJava言語で表現する方法を紹介しました。今回は集合に含まれる要素に注目します。

図31.1を集合の数学記号を用いて表現すると，次のように書くことが出来ます。

では，順番に見ていきましょう。

集合の要素

式31.1は，前回と同様集合Aに含まれる要素を一気に定義しています。

式31.2は，「⁠aは集合Aの要素である」と要素を個別に宣言しています。式31.3も同様の意味です。「⁠集合Aには要素aが含まれる」と読みます。数学的には，二つの式は等価です。文脈によって式の形を適切に選びましょう。

集合に「含まれない」要素を明示するための方法もあります。式31.4は「数fが集合Aに含まれていない」と宣言しています。

Java言語の配列やArrayListに格納されたデータの集合に対して，式31.2や式31.4のような処理や判断をするにはどうすればよいでしょうか。配列を用いた場合は，配列の先頭から逐一比較して同じ要素があるかどうか確認します。人間にとっては面倒ですが，コンピュータは文句を言わず処理をしてくれます。とはいえ，逐一比較するプログラムを作るのは大変ですし，プログラムのミスも心配です。そこで，ArrayListには便利な道具立てが用意されています。次回の演習問題でそれを用いれば，ぐっと短くわかりやすいコードを書くことが出来ます。どんな道具立てがあるのか，ArrayListについて調査をしておいてください。次回の問題に取り組むための宿題としておきましょう。

補集合

式31.5は，集合Aに含まれない部分が集合Bであると定義しています。このような操作を集合Aの補集合をとるといいます。補集合をとるためには，集合Aに含まれない部分も定義されていないと，具体的な要素が得られません。図31.1のなかには，四角形の枠が描かれています。四角形の枠の中に要素aからgがちりばめられ，その内のいくつかを円で囲み集合Aと名付けています。四角形の枠が，ここで取り扱う要素の全体を表しています。この枠の中に入っていないものは取り扱わないのだ，という意味でもあります。四角形の枠で囲まれた集合を全体集合といい，記号Uで表します（※1）⁠。

具体的に考えてみましょう。あなたの年賀状の住所録を全体集合とします。住所録は職場関係の人々，友人，親類と分類されています。更に，今年度喪中の人にはチェックを入れてあります。

さて，自分自身も喪中であるとします。近頃では，祖父・祖母の喪中では喪中を出さず，親類のみ賀状の送付を控えるのが多くなっているそうです。そこで，こんな方針で賀状・喪中はがきを投函することにしました。

「職場関係には喪中はがきを出す。友人には賀状を出す。親類には賀状を出さない。」これを図に表すと次の図31.2のようになります。

図31.2で淡いオレンジ色の部分が年賀状を送る人々です。友人の集合の中で，年賀を出す部分は，喪中の補集合になっています（※2）⁠。

※1）

全体集合を強調する必要のない場合は，四角で囲むのみで記号Uを省略することもあります。

※2）

数式的に表現すると次のようになります。（⁠今年年賀を出す人の集合）＝（友人の集合）かつ（喪中ではない）です。このような集合の数式表現の具体的な方法については，後日詳しく学びましょう。