はじめMath! Javaでコンピュータ数学

第33回 集合の数学 部分集合,空集合[前編]

この記事を読むのに必要な時間:およそ 1.5 分

フラクタル図形というものがあります。全体は緻密で幻想的な模様なのですが,この図形を支配するルールはいたってシンプルです。基本となる図形が一つ。次の図形になるための簡単なルールがひとつ。基本図形とルール適用という小さな部分の連続が,全体として幻想的な模様を形作ります。仏教曼荼羅画を眺めていると同じような感覚におそわれます。お寺や神社の建物の造りは,恐らくそのような影響を受けているのでしょう。細かな細工の集まりですが,全体として大きなバランスを保っています。欧米のプログラマは禅を学ぶ人が少なくないと聞きました。ストレスの多い職業ですから,無の境地を求めてのことかもわかりませんが,仏教の持つ無限集合的な宇宙観に惹かれているのかもしれません。

今回学習する集合の概念にも,部分や無といったものが登場しますが,それらは得体の知れない哲学的な概念ではなく,シンプルで明確な数学的概念です。ことばそのままに受け入れていただければ良いでしょう。それこそ,禅を行っているような心境で。

図33.1 複雑な寺院の建築も,シンプルな部分の集合

図33.1 複雑な寺院の建築も,シンプルな部分の集合

部分集合とは

部分集合とは,ある集合Aの要素の一部,あるいは全体を取り出した集合のことです。集合の数学記号では,集合Aと部分集合Bの関係を次のように書きます。

混乱しやすいので再度確認します。ある集合が別の集合の部分集合であると言われる場合,全く同じ集合のこともあるということを忘れないようにしましょう。上述の場合ならば,「集合Bは別の集合Aから取ってきたものなのだ」ということを「部分集合である」と言い換えているです。

集合Bは集合Aの一部をとってきたのだとします。一部と言うことは,集合Bには入っていない要素が集合Aにあるということです。そのような場合,集合Bは集合Aの真部分集合であるといいます。数式で書き表すと次のようになります。

単に部分集合であると表現されているとき,二つの集合は同じ集合である事もあるし真部分集合であることもあります。ですから,集合に含まれる要素が明確であるときは,「真部分集合」「等しい集合」と表現すると良いでしょう※1)。

具体的に集合とその要素を式と図で書き表してみましょう。

図33.2 部分集合,真部分集合

図33.2 部分集合,真部分集合

こうすると,集合Cは式33.8のように,部分集合ともいえますし,式33.9のように等しい集合ともいえます。どの式を用いるかは,文脈に寄るのです。

※1)
厳密には,「部分集合である」ということと「等しい集合である」ということは等価ではありません。A⊃BかつA⊂BのときA=Bです。

著者プロフィール

平田敦(ひらたあつし)

地方都市の公立工業高等学校教諭。趣味はプログラミングと日本の端っこ踏破旅行。2010年のLotYはRuby。結城浩氏のような仕事をしたいと妄想する30代後半♂。

コメント

コメントの記入