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第48回 確率の数学 順列と組合せ [前編]

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柔道の技は,全て単発で決まるものはありません。国際試合ではヨーロッパJudoの影響で,飛び込んで足を取る技が多く見られますが,伝統的な講道館柔道では「品のない行為」と見なされます。小さい頃から伝統的な日本柔道を稽古してきた柔道家は,先ずしっかりと襟と袖をつかみ,相手の体勢を崩して技を決めようとします。1つの技を決めるために,いくつかの技術を組合せ,相手の想像もつかない動きを工夫するのです。背負い投げひとつを取ってみても,組んですぐに入る場合,大内刈り,小内刈り,出足払いなどをかけてみる,相手がこらえる,あるいはかわす,こちらが更に押し込む,相手は前方向へこらえる,チャンス,背負い投げ!自分の得意技が決まるかどうかは,技に至るまでの小技の順番や組合せにかかっています。いかに相手の予想を裏切るか。どの格闘技もそうでしょうが,頭を使わなければ勝てません。

今回学ぶのは,確率の数学に不可欠な,順列と組合せの数学です。プログラマの素養の1つとして,今回ご紹介する内容は確実に身につけておきましょう。小技として,大技として,きっと意外なところで,そして思うよりも多く助けられることがあるでしょう。

図48.1 多彩な連係技で相手を翻弄する

図48.1 多彩な連係技で相手を翻弄する

確率と順列・組合せ

確率の値を求めるためには,それ以上分割できないほどに粒分けされた事象,根本事象※1の総数,すなわち全事象の数が必要です。根本事象は全て「同様に確からしい」ことが条件です。そして,確率を求めたい事象の数も必要です。全事象の数や確率を求めたい事象の数を求めるには,簡単な問題ならば一つ一つ書き出して数え上げるのが一番確実で間違いありません。

しかし,いちいち数え上げていては追いつかないような問題もあります。例えば,「トランプから取り出した任意の二枚の組合せの数を答えてください」なんて言われたら,どうします?もちろん,全ての場合を書き出して,数え上げても結構ですが,そのためには大変な時間が掛かることでしょう。上手に,効率よく計算する方法があるならば,是非とも知っておきたいですね。それが順列・組合せの数学です。

今回は,順列と組合せの数学を簡単におさらいしましょう。闇雲に公式を当てはめて問題を解くのではなく,式の意味を理解して使えるようにすることが目標です。

※1)
elementary event

順列

順列※2とは,異なるn個のものの中から順番にk個ほど取り出す場合の数のことです。

例えば,赤,白,黄色の玉を順番に並べる場合の数はいくつあるでしょうか。これを3つから3つを選ぶ順列といいます。樹形図※3を作ってみましょう。

図48.2 3つの玉から3つを取り出す順列の樹形図

図48.2 3つの玉から3つを取り出す順列の樹形図

1つ目の玉は3つの中から選び取りますから,場合の数は3です。2つめの玉は,残った2つの中から選び取りますから,場合の数は2です。3つ目の玉は,残った1だけ。こうして順番に考えていくと,できあがった樹形図から場合の数の総数は,樹形図の葉の数(右端の場合の数)に注目すると,次のように計算できます。

となります。式48.1は,次のように書くことも出来ます。

よく見ると,この計算は記号で置き換えられそうですよ。

階乗の記号で置き換えられましたね。公式など一切使わず,問題の意味だけから結果を得ることが出来ました。

もう一つ考えてみましょう。5つの玉から3つ選ぶ順列はどうなるでしょう。樹形図を作って調べてみましょう。ただし,今回は数が多くなりますので,一部分のみを書いて全体は省略します。

図48.3 5つの玉を3つ取り順に並べる場合の樹形図

図48.3 5つの玉を3つ取り順に並べる場合の樹形図

樹形図から,1つ1つ場合を数え上げても60,1つ目の場合の数・2つ目の場合の数・3つめの場合の数と計算しても同じく60であることがわかりますね。

式48.5は特に公式を使ったわけではなく,意味を考えれば自然と求められる式でしたね。順列といえばnPkを思い浮かべますが,あれ?どんな公式だったっけ?と困ってしまう人が少なくないはずです。順列の意味を考えれば,公式は必要がない,というと極論ですが,今回の例のような簡単な場合から公式を導くと良いでしょう。

式48.5から次のように式を変形して公式を導いてみましょう。

こうして教科書で習ったような順列の式が得られましたね。公式の記憶が苦手ならば,意味を記憶しておくと良いでしょう。意味のない記号を覚えるのはどなたも苦手なものですが,意味のあるものは記憶に残りやすいものです。

※2)
permutation
※3)
tree diagram

著者プロフィール

平田敦(ひらたあつし)

地方都市の公立工業高等学校教諭。趣味はプログラミングと日本の端っこ踏破旅行。2010年のLotYはRuby。結城浩氏のような仕事をしたいと妄想する30代後半♂。

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