はじめMath! Javaでコンピュータ数学

第54回 確率の数学 連続事象の確率分布

この記事を読むのに必要な時間:およそ 2 分

柔道の背負い投げは,文字通り背負って投げることもあります。では,自分の力では持ち上げられないような重い相手には使えないのでしょうか。実は,背負い投げは,相手を背負う必要が無い技なのです。ぴったりと相手の正面に自分の背を付けるように技に入りますからこの名前が付いていますが,実際に力を働かせる場所は取り(技をかける側)の腰,おしりの少し上ぐらいです。受け(技をかけられる側)に力の働く場所は重心の少し下,へそと股ぐらの中間か,それより下の部分です。コツは受けの重心を前へ引き出すこと。そして,受けの重心の下へ自分の体を入れれば,ちょうど石に躓いてこけるような形になり,受けはくるりと回転します。うまくいけば重さをほとんど感じません。

この背負い投げのコツを,1つの公式的に教えることはできません。受けと取りの体格差によって千差万別,立つ位置も変化します。多くのコンピュータ・ゲームのように,このアイテムでこの操作をすれば,この技が決まる,といった固定したものではないのです。

今回は,コインやさいころのときのような確率の分布と異なり,連続的で,無限の場合が考えられる事象を取り扱います。より一般的な事柄が取り扱えるように世界を広げるのです。では,始めましょう。

図54.1 同じ技でも千差万別

図54.1 同じ技でも千差万別

連続事象

コインやさいころのように,裏か表,1,2,3,4,5,6と,かちっと場合分けできる場合を,離散的な事象※1といいます。しかし,ボールを投げるとどこに落ちるか,といった試行の結果は,かちっと場合分けできません。巻き尺の目盛りは1mm単位で書かれているとしても,物の寸法は目盛りぴったりにはなりません。この,整数に対する実数の違いのような連続的な確率分布をもつ事象を連続事象※2といいます。離散的な事象の確率分布は短冊を並べたようなグラフになり,連続事象の確率分布は連続な曲線(または直線)となります。

図54.2 連続事象とは

図54.2 連続事象とは

※1)
discrete events
※2)
continuous event

一様分布

最も簡単な連続事象の確率分布の例として,一様分布を取りあげます。一様分布※3とは,ある区間すべてに渡って確率が等しい確率分布のことです。例えば,長さの紙テープを屋外に水平一直線に渡します。雨が降ってきたとき,テープ上のどこに雨粒が落ちるかは「同様に確からしい」と言えます。いま,テープのある区間に雨粒が落ちる個数は,の長さに比例します。このとき,「雨粒の分布は一様分布である」といいます。長さのテープに落ちる雨粒のうち,の区間に落ちる雨粒の確率は次の式で表されます。

図54.3 一様分布の例

図54.3 一様分布の例

※3)
uniform distribution

モンテカルロ法

一様分布の連続事象をうまく利用した例にモンテカルロ法で円周率の値を求める方法があります。モンテカルロ法※4とは,乱数を用いて数値シミュレーションをする方法のことです。

正方形にぴったり内接する円をとります。この図形を屋外において,雨が降るのを待ちます。ぱらぱらと降り始めた雨粒は,図形のどこにも均等に落ちることでしょう。図形の中に落ちた雨粒の数を数えることができれば,次のようにして円周率を計算することができます。

円の中に落ちた雨粒の数と正方形の中に落ちた雨粒の全ての数の比は,円の面積と正方形の面積の比と等しいはずです。雨粒の数の比は,正方形の中に落ちる雨粒のうちで円の中に雨粒の落ちる確率である,と言い換えることができます。こうして,確率と面積の等式を作ることができるのです。

図54.4 モンテカルロ法で円周率を求める

図54.4 モンテカルロ法で円周率を求める

ただし,は正方形の一辺の長さであると同時に,内接する円の直径のことです。

ここで,全ての雨粒の数を円の中に落ちた雨粒の数をnとし,式53.3を円周率を求める式に変形・整理します。

なんともシンプルな形となりました。式53.6を用いれば,魔法のように円周率が計算できるのです。実際には魔法でも何でもなく,数学に基づいてきちんと導かれた式ですから,安心して使うことができます。さあ,では雨が降るのを待ちましょうか・。と,そんなことはしていられませんね。私たちの手元にある便利な道具,コンピュータを用いてシミュレーションをしましょう。コンピュータ内の仮想の正方形の上に乱数の雨を降らせ,円の中に落ちた雨粒の数をカウントするプログラムを作って円周率を求めるのです。

※4)
Monte Carlo method,MC

著者プロフィール

平田敦(ひらたあつし)

地方都市の公立工業高等学校教諭。趣味はプログラミングと日本の端っこ踏破旅行。2010年のLotYはRuby。結城浩氏のような仕事をしたいと妄想する30代後半♂。

コメント

コメントの記入