【対談】『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』に先立って

第2回 計測と圏論/合成系を作る

この記事を読むのに必要な時間:およそ 3 分
  • 日時:令和元年7月22日13時〜
  • 場所:東京大学工学部14号館にて
  • 『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』⁠2019年8月9日発売)に先立って

西郷甲矢人(さいごうはやと)
『圏論の道案内』著者の1人。1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学(非可換確率論)⁠
成瀬誠(なるせまこと)
西郷先生と近年一緒に研究をされていて,情報物理の観点から,圏論の応用に取り組んでおられます。東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻 教授。

対談風景

左:成瀬誠先生  右:西郷甲矢人先生

第2回 計測と圏論/合成系を作る

成瀬 私は西郷先生にいろいろ学んだので,当時の衝撃は少し忘れかけていますが(笑)⁠例えばさっきのソフトロボットはまさしくその柔らかいソフトロボットの実現形態が毎回変わっているんだけれど,掴むという意味では同じというのは大変衝撃的でしたよね。こういう,数学的に厳密な議論なんて出来そうもないと一見思われるようなものでも非常にきっちり美しく,自然変換を通じた「圏同値」*15の概念で明確に把握させてしまうというようなことですね。

*15 圏同値
圏と圏の間の「本質的な等しさ」⁠詳しくは本書118ページを参照)⁠ふたつの圏が圏同値であるとしても,対象や射が一対一に対応しているとは限らない。ふたつの圏の射や対象の「豊かさ」が異なっていても,それらが圏同値であることはありうる。一方,圏同値なふたつの圏は,あらゆる「圏論的な性質」を共有する。

それで翻ってみると,私が今いるのは工学部ですが,ここの学科は計数工学科っていうんですけれども,その一つの柱は計測なんですね。⁠計る」ということを一つ取ってみても……ちょっとコンパクトにあまり上手く言えないですが,何を同じと見るかっていうこと無しには全然成し遂げられないようなことであり,環境のことも大事だし……。

西郷 環境は毎回変わりますから,変わる中で何を以て同じと見るのか。

成瀬 そう。もっと上位な問題もどんどん入ってきます。例えば簡単に見えますが体重計。それは私たちの体重が高々何キロであったりだとか,人間の寸法がこれくらいだということを前提に設計されているわけですよね。ものすごく小さなモノ,一方でものすごく大きなモノ,例えば象とかを測るときにはそれなりの仕様が必要なわけです。そこまで含めてシステムをいかに設計し計測するか。価値基準に応じたシステムというか。そもそもの「インテンション(意図)⁠をどういうふうに考えていくかが不可欠で,そういった意図を含めた意味での計測。これをわたしの師匠のひとりである石川正俊先生(東大)インテンショナルセンシング*16として提唱しました。だいぶ前に。これも圏論的な考え方になるのかなと思います。

*16 インテンショナルセンシング
センシング(物事を測ること)はそれを如何に活用するかという意図(インテンション)に基づいており,単に物量等を測ることだけでなく,システムの設計,分析,運用などを含めたアーキテクチャとして捉える概念。

西郷 測定っていうとわれわれ門外漢からすれば単に測定される「物」だけが重要と思いがちです。でも実際には物とそれを測る側との関係がどうなっているかを想定することが大事だったりすると思うので,圏論的なものときっとつながるでしょうね。まだまだ私は具体的にどうすればいいか,すぐにはわからないですけれども,きっとこうした方向の専門家の方々がもし圏論を学ばれたら,ああこれこうだなって思うようなものがあるんじゃないかなって感じが非常にしましたね。

成瀬 あとセンサーフュージョン*17という考え方があって,センサーを多数つかって,それらを集めて高度化するといったものなのですが,どのように合わせていくかってところで4つの類型があるんですね。複合,統合,融合,連合といいます。

センサフュージョン

山﨑弘郎・石川正俊 編著
『センサフュージョン - 実世界の能動的理解と知的再構成-』コロナ社(1992)より

*17 センサーフュージョン
複数のセンサーデータを総合することでより的確・適切な認識,行動を可能とさせ,新たな機能を構築するシステム概念,技術。

西郷 これは初めて見ましたね。おもしろいですね。

成瀬 ⁠複合」っていうのはレンジが違うのもを合わせて拡大とか。⁠統合」⁠⁠融合」⁠⁠連合」⁠これらははみな関係性から読み解く感じのもの。これって全部関係性を紐解くってことなので圏論的なものなんですよね。現にこの図,矢印で書かれていますし。そして,そもそもこういうものを規定するときにインテンションが関わってくる。

西郷 インテンションというと,やっぱりある方向性をもった,非常にシャープなイメージにぴったりですね。ここに書かれているセンサフュージョンも初めて見ましたけれど,非常に似ていると感じます。結局今の話でもすごくそうなんですけど,これまでばらばらだった,例えば情報だったり,物理は物理だったり光学的なものは光学的だったり,情報科学は光学との繋がりを常に考えてきたと思いますけども,ある程度つながりがまだまだ少なかった部分が一気にこう繋がっていかなきゃいけない時代というか,新しい時代になってきた。じゃあ,どうやってお互いの意思疎通を図るのかっていうのが本当に急務になってくる気がしています。

その時にすごく圏論というのが役に立つ。本書でも書きましたが,⁠圏論が流行っている」んだそうですけど,実はすでに2011年に「数学セミナー」⁠日本評論社)という雑誌で圏論の連載をしたときからそうでした。私はあの時すぐに出してもらえればなって思ったんですけれども色々ありまして,⁠圏論の歩き方』が出たのが2015年,もうその段階で遅かった時代ではないかと私は思ったくらいです。にも関わらず,まだブームは去らず,むしろより多くの方々に圏論が知られてきている。

成瀬 なるほど。

合成系を作る

西郷 私の学生時代には,もちろん数学者は知っているというか,知っていることになっているんですけれども,まさかこんなに世間的に圏論の話が出るとか,この『圏論の道案内』みたいなくだけた本が出るなんていうのは,想像だにしていなかったんですよ。だけれども,圏論すごく今ホットになっているっていう背景には,やっぱりいろんな分野を融合していかないといけないという時に,じゃあ何をもって融合させていけばいいのかっていうことがあると思うんですね。私はちょっと答えらしきものを持っていて,それは当たり前の事なんですけれども「どの学問も人間がやっている」ってことなんですよ。

成瀬 なるほど。

西郷 当然人間の根源的な思考回路といいますか,そういうものにフィットするように出来ているので,共通の構造を使っている。そうしたときに人間が言う所の知能というのは,非常に圏論的な構造を持っていると私は思っているんです。たんなる有向グラフ*18ではなくてね。

*18 有向グラフ
「頂点」「矢印」からなるシステム。各矢印にはその根元と先端の「頂点」が定まっている。圏は(大まかには)⁠合成の概念を備えた有向グラフ」といえる。

有向グラフは本書でも扱っていますが,要するに点と矢印のなすネットワークで,しかし合成は考えない。よく,有向グラフだったらよく知っています,圏までやらなくていいんじゃないですか?っていう質問を受けるのですが,その違いはなんといっても「合成」なんですね。圏は特別な有向グラフと思ってもよいわけですが,何が特別かっていうと,合成っていう概念がある。矢印を繋いだ新しい矢印が作れるっていうシステムであることが重要です。人間っていうのは,⁠AならばB」を理解し,⁠BならばC」を理解したならば,⁠AならばC」と推論できますよね。おそらくそれは,他の動物などにとってはまったく易しいことではない。もちろん因果関係の把握もそうですね,Aを因としてB,Bを因としてCが生ずるなら,Aを因としてCが生ずることがわかる。

こういうことが出来るっていうのが知能の根源的な正確,本質ではないかと思っています。いまは「人間」ということを強調しましたが,狭い意味での人間のみならず,われわれが知能とよぶところのもの一般の構造と言ってもいいんじゃないでしょうか。たとえばそれを通じて人間と自然現象とが一緒に計算したり,考えたりと出来るようなときが来るんじゃないかと思っています。

成瀬 なるほど。

西郷 何が言いたいかっていうと,成瀬先生は堀裕和先生をはじめ色々な方々と「自然知能」というものについて考えてこられた思うんですが,なぜ自然知能*19と圏論なのか?みたいなことについて,何かお思いになることがありますでしょうか。

*19 自然知能
自然界の多様な現象を知的機能へ発展させる概念の総称。自然界の数物構造を知的機能に活用する鍵は,現象全体を精密に取り扱うことでは必ずしもなく,合成された物事の全体性を考察し,課題を解決する決め手となるインタフェースにおいて,現象の構造や性質を精緻に捉えること。そのため,数物理論で記述された自然ではなく,本来の自然を数物構造でどう表現し理解するかに取り組む態度が必要。そのため圏論的アプローチは有用と考えられている。

成瀬 それはもう本当に難しい問題で,我々もまだ答えを持ってないんですけれどもね。ただ,この先,半導体集積回路の集積度の向上を支えてきたムーアの法則*20がいよいよ終焉して,量子的な過程であったり,あるいは光であったりスピンであったり,時として生物系であったりと,従来のコンピューティングで使われていないような物理過程に注目したり,新しいアーキテクチャを考えないとないとどうしようもないだろうということについては,世界の共通認識になっていると思います。日本では「革新的コンピューティング」などとも呼ばれています。こういった今後の新しいコンピューティングやシステムの理論的な基盤を作っていかなければいけないということは確かだと思うんですよね。

*20 ムーアの法則
半導体集積回路の集積度に関する経験則あるいは将来予測。ゴードン・ムーアが提唱し,実際に指数関数的に集積度が高まってきた(18ヶ月で2倍)⁠

そのときにやっぱり圏論かどうかはわからないですが,現代数学を使いこなしていくこと,少なくともそこそこに知っておくことは,絶対に必要だなってことは言えると思います。

それから,先程西郷先生が繰り返しおっしゃっていた合成可能性*21ですね。これは本当に重要なことです。Compositionality。これはもう根本的に重要だということに私たちだけじゃなく,欧米の応用圏論*22の人達も明確に意識しており,Compositionality*23の学問みたいなことを言い始めている。

*21 合成可能性
ここでは,AからBへの射(f)⁠BからCへの射(g)が存在するとき,AからCへの射(g○f)が存在するという圏論の定義を規範として,f と g という別のシステムを合成することで新たなシステムが構築されるか否かという観点をハイライトしている。
*22 応用圏論
Applied Category Theory の日本語訳。圏論を様々な応用分野に展開することを目指している。
*23 Compositionality
“An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality⁠( David I. Spivak, Brendan Fong著)

西郷 Spivakさんは私の飲み友達なんです。まあ忘れられているかもしれませんが(笑)⁠

成瀬 彼らも今ちょっと,これ読むとわかるんですけれど,実践に関しては模索しているんですよね。色々。あーだ,こーだっていう感じで。まだ決定打は僕の認識では出ていないんですけれども,今後いろんな探索的な研究をやっていくことが大変重要なのではないでしょうか。

次回,⁠圏と確率の融合・ApproximateComputing(近似計算)⁠自然変換の重要性』⁠⁠8/20公開予定)に続く……

著者プロフィール

西郷甲矢人(さいごうはやと)

1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学(非可換確率論)。