概要

論理的に考えるとはどういうこと？証明するってどういうこと？という問いに簡潔に答える論理と証明のための徹底解説本です。論理に強くなるためには，論理記号に対するアレルギーを克服することが第一です。本書は，「かつ」「ならば」などの基本的な論理記号からまず入ります。論理記号や論理式には解釈を逐語訳のように併記するので，臆することなく読み進めてもらえます。そして数学の問題で出てきた「証明」の考え方へと話を進めます。論理と証明の考え方を習得することがゲーデル不完全性定理の理解につながることにも言及します。

こんな方におすすめ

• 論理力を身につけたい人，論理学に興味がある人，ゲーデルの不完全性定理の基礎を知りたい人，公務員試験で論理問題が苦手な人

目次

• まえがき

序章　「証明」と「論理」を学ぶと何の役に立つのか？

• 本書のテーマは？/「論理的」の論理ってなに？/公務員試験・資格試験の論理問題はどう解く？/中高生に論理を教えるにはどうしたら良いか？/数学はなぜいつも正しいのか？/なぜ，三角形の内角の和が180°でない世界がある？/証明法には，何か根拠があるのか？/数理論理の教科書はなぜわかりにくいのか？/ゲーデルの定理とはどう証明されるのか？/私たちの認識ってどういうもの？

第1部　論理式に慣れよう
　　 第1章　論理記号を読めるようになる

• 論理とは，私たちの認識/論理記号に慣れよう/論理の記号は6個/論理記号は主張から別の主張を作る/新しい主張の生成/3つの主張を接合する/論理式の優先順位/少し練習してみよう

第2章　論理式の真偽は考える世界で変わる

• 論理式に「正しい」「正しくない」をあてはめる/「可能世界」ってなんだろう/命題記号と可能世界/命題記号の真理値/￢（でない）の真理値/Λ（かつ）の真理値/∨（または）の真理値/→（ならば）の真理値/「ならば」でこんがらがるのはなぜか？/複雑な論理式の真理値/常に真の論理式

第3章　大学入試・公務員試験を解いてみよう

• 論理は，いろいろな試験で問われる/真偽表から解く/必要条件と十分条件/必要ってなに？　十分ってなに？/入試問題を解いてみよう/論理式の同値/二重否定/「ならば」と同値な論理式/対偶は元と同値になる/否定による「かつ」「または」の逆転

第2部　証明するとは何をすることか
第4章　言論と推論

• 証明するとは何をすることか/「証明とは何か」の歴史/言語と記号操作/MIUゲーム/MIUゲームの演繹システム/MIUゲームで遊んでみよう/七並べからCLｗへ

第5章　「等しい」とはどういうことか？

• 等号に関する演繹システム/「等しい」とは何だろう/等号の推論規則/等号について定理を演繹してみよう/式計算とは等号の演繹システムと同じ/等号が「正しい」「正しくない」とは？/他のモデルも見てみよう/集合世界のモデル/「等しい」を特徴付ける

第6章　「かつ」「または」「ならば」「でない」の推論規則

• 論理における証明/命題論理と述語論理/論理の演繹システムは3種類ある/自然演繹は，私たちの認識の根底に近い/自然演繹の言語/自然演繹の公理/どんな規則が推論規則として選ばれているか？/「ならば」の推論規則/三段論法/「かつ」の推論規則/「または」の推論規則/証明における場合分けとは？/　「でない」の推論規則/矛盾からは何でも証明できる/命題論理の自然演繹のシステムは完了

第7章　「証明できる」と「正しい」の関係

• 「証明できる」と「正しい」の関係/等号の演繹システムの健全性定理/等式のモデルでの真偽/健全性定理はなぜ成り立つか/等号の演繹システムの完全性定理/自然演繹の健全性定理/数学の正しさは健全性定理から来る/健全性が成り立つ理由のポイントは？/すべての推論規則に対して確認しよう/自然演繹の完全性定理/前者から後者は出てくる/構文論的な同値と意味論的な同値/健全性定理は，論理の正しさを本当に示しているのか？

第8章　述語論理を読めるようになる

• 述語論理に進もう/述語論理ってどんな論理？/「すべて」と「ある」/述語論理はフレーゲによって生み出された/量化記号の読み方の順序/述語論理の真偽/イプシロン・N論法

第3部　自然数を舞台に公理系を学ぶ
第9章　1＋1＝2を証明しよう

• 自然数を舞台に述語論理を学ぼう/自然数とはいったい何だろう/自然数をどう定義する？/自然数を特徴付ける/3つの自然数の演繹システム/メカ自然数/メカ自然数の公理/形式的な自然数としてのメカ自然数/他にもいろいろ証明してみよう/否定型の定理の演繹/証明できる式は真なる式/真なる等式はすべて証明可能/完全性はなぜ成り立つのか

第10章　∀と∃を操作しよう

• メカ自然数への不満点/∀と∃の導入/メカ自然数Q/推論規則［∀除去］は，具体的な式を生みだす/推論規則「∀導入」は，文字式による証明と同じ/推論規則［∃導入］は，単に「存在するよ」を見せるだけ/「存在する何か」を何かのまま操作する/大小関係を意味する論理式

第11章　数学的帰納法とはどんな原理か

• メカ自然数とメカ自然数Q/「任意」と「すべて」は同じじゃない！/数学的帰納法とはどんな原理か/数学的帰納法を備えたメカ自然数P/メカ自然数Pにおける証明を見てみよう/ニセ自然数/ニセ自然数はメカ自然数Qのモデルである/「任意」と「すべて」の隔たりは？/数学的帰納法でニセ自然数が排除される理由/メカ自然数Qの不完全性

第4部　ゲーデルの定理の予告編で終わる
第12章　ゲーデルの定理，その予告編

• ゲーデルの定理の門前を目指す/ゲーデルの完全性定理/不完全性定理登場/不完全性定理の証明のアイデア/不完全性定理の証明/演繹システムの算術化とはどういうことか/公理や推論規則を自然数で表す

　
• 補足
• 練習問題の解答
• お勧め文献・参考文献
• あとがき
• 索引

サポート

正誤表

本書の以下の部分に誤りがありました。ここに訂正するとともに，ご迷惑をおかけしたことを深くお詫び申し上げます。

P.343　練習問題6.1　(2) の図

P.157　図6.9　出発点としての仮定①の矢印の先