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高校数学からのギャップを埋める 大学数学入門

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概要

高校まで数学が得意だった人が，大学の数学になった途端に躓いてしまうことがあります。なぜ難しいと感じてしまうのか，どう取り組んでいけばよいのかを，現役のエンジニアライターが実体験をもとに解説していきます。捉え方をちょっと変えれば，意外とすんなりと先へ進むことができるかもしれません。

こんな方におすすめ

  • 大学の数学の授業についていくことができない人
  • 専門ではないけれども数学をやらないといけない人
  • 数学が何の役に立つのか知りたい人
  • 工学系で数学を使う人
  • 数学の応用を知りたい人…など

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目次

第1章　なぜ大学数学は難しいのか

  • 大学の数学が難しい理由
  • 高校の数学と大学の数学の違い
  • 役に立つ数学とは？
  • 数学の３つの性質
  • 数学界の絶対的なルール「0で割ってはいけない」
  • ε－δ論法がなぜ必要なのか？
  • 無限なんて現実には存在しない
  • 大学数学を学ぶ時の心構え

第2章　高校数学の学びなおし

  • f（x）とは何か？（関数）
    • 関数とは
    • 逆関数，合成関数，陰関数
    • f(x）がわかると因数定理が理解できる
  • 大きい数／小さい数を扱う(指数・対数）
    • 数学は拡張の学問
    • 対数グラフの使い方
    • 指数や対数を使った単位
    • 有効数字を意識する
  • 実は三角でなくて，波を表す関数（三角関数）
    • 数学は拡張の学問
    • 三角関数を波と考えると視点が変わる
  • 「i2＝－1」を忘れた後に残るもの（複素数）
    • 虚数とは次元の違う数
    • 複素数で平面を表せる
    • なぜ，わざわざ複素数で平面を表すのか？
    • さらなる次元の拡張
  • 微分＝傾きの概念をしっかりと（微分）
    • 導関数は傾きの関数
    • 微分の定義の意味を理解しておく
    • dy/dxは分数ではないが，分数のように扱える
  • 積分＝面積の概念をしっかりと（積分）
    • 積分で面積を求める仕組み
    • 原始関数とは面積の関数
    • 体積や曲線の長さの計算も重要
    • 置換積分を根本的に理解する
  • スカラーより便利なことに気づいて欲しい（ベクトル）
    • 2次元と3次元を別々に考えない
    • 一次独立を拡張してみる
    • 直交するとは何か？
  • 「同様に確からしい」の本質（確率）
    • 数学的確率と統計的確率
    • 何が独立なのか？
    • 条件付き確率は母集団が変わっている

第3章　大学数学の学び方

  • 本格的な大学数学に進む前に
    • 広義積分とは
    • 関数を展開する方法
    • 3次元の極座標
  • 行列を変換と考える（線形代数）
    • 行列はベクトルの演算を行うもの
    • 行列のかけ算はなぜ複雑なのか？
    • 行列のわり算，逆行列と行列式
    • 連立方程式を行列で解く
    • 行列を対角化するために
  • ∂とdは何が違うのか？ (多変数関数)
    • 偏微分と全微分
    • 重積分で体積を求める
    • 線でも面でも積分できる
    • ラグランジュの未定乗数法の意味
  • ネイピア数の大事さがわかる（微分方程式）
    • 微分方程式とは何か？
    • 微分方程式と線形性
    • 微分方程式の数値解を得るオイラー法
  • 微分系ではなく積分系で考えよう（ベクトル解析）
    • ベクトル関数とは何か？
    • ベクトルの微分の意味は？
    • ベクトルの勾配・発散・回転
  • 実は実関数の積分で活躍する（複素関数論）
    • 複素数に拡張された関数の世界
    • 複素関数の微分とは
    • 複素関数の積分は留数定理がゴール
    • フーリエ級数とフーリエ変換
  • 現実世界の数字を理解する（数値解析）
    • マクローリン展開を使って関数を近似する
    • ニュートン・ラフソン法で方程式を解く
    • 数値微分と数値積分
  • 統計学は標準偏差が8割
    • 標準偏差σとは何を表す量か？
    • 正規分布はなぜ重要なのか？
  • INDEX（さくいん）

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