今回は,
まだ挑戦していない方は,
キーワードは 「ユークリッドの互除法」 と 「フィボナッチ数列」
今回の問題では,
このルールがいったい何を意味しているのかを見抜くことが,
今回のハサミ問題のキーワードは,
1つは
もう1つは
ユークリッドの互除法の代わりに
コンパスとハサミの操作は 「ユークリッドの互除法」 になっている
「ユークリッドの互除法」
ユークリッドの互除法は,
じつは,
なぜ,
長方形Aの長辺をmとし,
そのとき,
ですから,
- (長辺, 短辺)
= (m, n) の長方形から - (長辺, 短辺)
= (n, m mod n) の長方形を得る
操作になります。
これを,
ここまでは,
しかし,
言い換えればこれは,
「ハサミ40回」 の逆から考えるのがポイント
じつは,
今回の問題を解くときには,
短辺が1のとき,
短辺が2のとき,
短辺が3のとき,
ということは,
- 「コンパス1回だけ使って切り取った残りの長方形が,
一歩手前の最小長方形になるような長方形を作る」
操作を繰り返していけばいいと予想できます。
それは言い換えると
- 「長辺が次の短辺になり,
長辺と短辺の和が次の長辺になるような長方形を作る」
という操作の繰り返しです。言葉で説明するとわかりにくいですが,
じつは,
フィボナッチ数列を作り出せば正解が見える
フィボナッチ数列というのは,
F[1] = 1
F[2] = 1
F[k] = F[k-2] + F[k-1]
(k = 3,4,5,...)
具体的には,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
- ハサミ1回の最小長方形は2×3。これは,
(短辺, 長辺) = (F[3], F[4])に相当します。 - ハサミ2回の最小長方形は3×5。これは,
(短辺, 長辺) = (F[4], F[5])に相当します。
つまり,
ハサミ1回 | 2×3 |
---|---|
ハサミ2回 | 3×5 |
ハサミ3回 | 5×8 |
ハサミ4回 | 8×13 |
ハサミ5回 | 13×21 |
ハサミ6回 | 21×34 |
ハサミ7回 | 34×55 |
ハサミ8回 | 55×89 |
… | |
ハサミ39回 | 165580141×267914296 |
ハサミ40回 | 267914296×433494437 |
よって,
267914296x433494437
この解答が最小面積になることは,