前回は2変数の論理式を、カルノー図で簡略化する方法を紹介しました。今回は演習問題に取り組み、この便利な道具を自分のものにしましょう。

問題：以下に示す論理式をカルノー図を利用して式変形しましょう。

解説

1.

図25.1に式変形の手順を示しました。

図に示す手順は、カルノー図を初めて自分で作成する、という読者を想定していますから、少々冗長で回りくどいと感じられるかもしれません。慣れたら、途中の手順を頭の中で行い、いきなり図の（c）を作成できるようになるでしょう。それでは、ステップ・バイ・ステップで解説します。

図25.1の（a）はが真の場合を表す二つの枠にチェックを入れたところです。

図25.1の（b）はが真のところにチェックを入れたところです。一つしかありません。

そして、図25.1の（c）がを表すカルノー図です。（⁠a）と（b）でチェックの入ったところをあわせたものです。

こうしてチェックの終わったカルノー図をぐっとにらみ、図25.1の（d）のようにグループ化します。

囲み方は長方形か正方形です。L字形はありませんから、今回はこのような赤と青、二つの囲みになります。なるべく囲みは大きく、そして囲みの数は少なくと考えれば、自然とこの形になります。

赤いグループに注目すると、の真偽に関わらず、=1のときにチェックが入っています。ですから、赤いグループはを表しています。

青いグループに注目すると、の真偽に関わらず、=1のときにチェックが入っています。ですから、青いグループはを表しています。

このカルノー図全体が表す論理式は、赤と青のグループの論理和です。よって、式はと表せることがわかりました。

この結果は、連載第18回、問題の（3）で導いた結論と一致します。カルノー図が確かに有効であることがわかりますね。

2.

図25.2に式変形の手順を示します。

図25.2の（a）はが真である枠にチェックを入れたものです。

図25.2の（b）はが真である枠にチェックを入れたものです。

図25.2の（c）はですから、（⁠a）と（b）で両方チェックの入っている枠を選び出したものです。

こうしてチェックの終わったカルノー図をぐっとにらみ、チェックの入った枠をできるだけ大きく、少ない数の囲みでグループ化します。すると、図25.2の（d）に示すように、赤い囲みが一つ出来上がります。この囲みは、の真偽に関わらず、が真の時にチェックが入っています。ですから囲みが表している論理式はであるとわかります。従って、問題の論理式は次のように整理されます。

この式は連載20回『論理代数の公式[中編]』で学んだ吸収則そのものですね。

3.

図25.3に式変形の手順を示します。式の形から、ド・モルガンの定理を取り扱おうとしていることがわかると思います。カルノー図で見事定理どおりの式が導かれるでしょうか。

図25.3の（a）はが真である枠にチェックが入っています。は（a）でチェックの入っていないところを表しますから、図25.3の（b）のようになります。

チェックの入っているところがひとつしかありませんから、図25.3の（c）のように、この枠のみが囲みの中に入ります。そしてこの囲みがあらわす論理式はかつ、すなわち・であることがわかります。

以上のことから、次のとおり、ド・モルガンの定理の式が導かれました。

4.

図25.4に式変形の手順を示します。排他的論理和を、カルノー図を用いて（オープラス）を用いずに表そうという試みです。

図25.4の（a）はが真である枠にチェックが入っています。あるいはどちらかのみが真のとき、その枠が真です。

こうして出来上がったカルノー図のチェックをグループ分けしようとするのですが、それぞれチェックの入った枠の辺が接していません。図25.4の（b）のように、それぞれひとつずつの枠が個別のグループをなしています。ですから、赤い囲みと青い囲みそれぞれについて論理式を立て、それらの論理和を取ったものが全体の論理式をあらわすのです。赤の囲みは、青の囲みがですから、全体としてはがこのカルノー図の表す論理式です。

以上のことから、次の式が導かれます。

これは連載第18回『真理値表から論理式をつくる[後編⁠］⁠』の問題で取り組んだ、真理値表から導いた結果とも一致しています。

今回はここまで

『図による論理式の整理　その1』前編・後編では、カルノー図がいかに便利な方法か、肌で感じていただくことができたことでしょう。最もシンプルな場合として二変数のカルノー図を取り扱いましたが、実際のプログラミングでは、論理変数、すなわち命題が三つ、四つと登場します。次回はそのような論理変数が多い場合でカルノー図を利用してみます。次回紹介する内容が身につけば、多くの場合で効果を実感できるようになります。お楽しみに。