韓国を訪れた際，仏教寺院建築を見ると，色彩こそ異国情緒を感じますが，建物の雰囲気はとてもよく似ていました。ご近所さんなのだ，ということを強く感じました。アジアの文化はどれも違っているようでどこか似ています。違いは何で，共通するところは何か，そう考えるのは，今回の和集合・積集合の数学と共通するように思われます。さて，考え方を数学的に切り替えて，今回の集合の数学に取り組んで行きましょう。

和集合

和集合とは

和集合とは，二つの集合を「もれなく」「⁠だぶりなく」ひとつにまとめる演算です。集合Aと集合Bの和集合はA∪Bと書きます。「⁠エー・カップ・ビー」と読みます（※1⁠）⁠。図35.2（a）にオイラー図を用いた和集合の演算例を示します。

和集合の記号∪と全体集合の記号Uはよく似ているので紛らわしく見えます。手で書く際には全体集合の記号Uの開いた側を釘の頭のようにつぶして書くと良いでしょう。

※1）

英語ではA join Bです。

和集合の要素数

図35.2を詳しく見ましょう。

和集合演算は二つの集合を「もれなく」「⁠だぶりなく」ひとまとめにします。ですから，図35.2（a）のような場合，集合Aに含まれている数3，4，5と集合Bに含まれていた3，4，5はだぶります。和集合を取ったあと，どちらかに含まれていた3，4，5を捨てなければなりません。AとBで重複する要素は片方を無視し一つと数えるのです。このため，n（A）＝5，n（B）＝5なのですが，重複が3ありますので，n（A∪B）＝7となります。単純に，5＋5＝10とならないので注意が必要です。

和集合と現実問題

コンピュータを用いたデータ処理に当てはめて考えてみましょう。別々に収集された二つのデータの集合から，重複する部分を取り除いて効率よくデータを集積したいという場合に相当します。カードのコレクションをしている人が重複するカードを持っていると，一つだけ残して他を処分してしまうような事ですね。好きなアイドルのカードなら，同じのが何枚あってもかまわない？それは趣味の問題。人の感情は数学で処理出来ませんという現実問題。許してあげましょう。

ともあれ，重複を取り除いて一つの集合にまとめるという操作は，次の式35.1のように書くことが出来ます。

≡は「定義」を意味します。プログラマは，右から左へ値を「代入」する習慣がありますから，次の式35.2のように書くこともあります。

今回の例の場合は，集合AとBの要素の様子が図35.2（b）のようになっていました。ハッチングした部分（斜線で埋めた部分）が和集合の演算結果を表しています。和集合が常にこのような関係にあるとは限りません。二つの集合の要素の様子は図35.2（c）から（d）のようにいくつかの場合が考えられます。プログラミング言語で和集合の処理を行う場合には，それぞれの場合を意識した処理を心がけましょう。単純に配列やコレクションクラスを連結してハイおしまい！と出来ないのです。

積集合

積集合とは

積集合とは，二つの集合から共通部分を取り出す演算です。集合Aと集合Bの積集合はA∩Bと書きます。「⁠エー・キャップ・ビー」と読みます（※2）図35.3（a）にオイラー図を用いた積集合の演算例を示します。

※2）

英語ではA meet Bです。

積集合の要素数

集合AとBが図35.3（a）のような関係にある時の積集合の結果は，右端のように要素数n（A∩B）＝3となります。図35.3（b）のように，ハッチングして示すことも出来ます。

和集合の時と同様，二つの集合の要素がどのような様子かによって，図35.3（c）から（e）のように図が異なります。

積集合と現実問題

CADのデータをメモリに読み込み，線分を追加し，再び保存するという場合を例にとりましょう。追加されたデータのみを保存すれば，処理時間もデータのサイズも節約できます。このような場合に，変更前の図面データと変更後の図面データで積集合をとり，結果のみを追加で保存すれば無駄なく効率が良くなります。