【対談】『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』に先立って
第5回 圏論をきっかけにした展開
- 日時:令和元年7月22日13時〜
- 場所:東京大学工学部14号館にて
- 『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』
(2019年8月9日発売) に先立って
- 西郷甲矢人
(さいごうはやと) - 『圏論の道案内』
著者の1人。1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学 (非可換確率論)。 - 成瀬誠
(なるせまこと) - 西郷先生と近年一緒に研究をされていて,
情報物理の観点から, 圏論の応用に取り組んでおられます。東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻 教授。
第5回 圏論をきっかけにした展開
西郷 『圏論の道案内』
成瀬 そうですね。
西郷 成瀬さんは,
成瀬 私自身,
- *38 カーネル
- 直感的にいえば,
「AからBへの変換によって, BにおいてゼロになるようなAの部分」 のこと。正確にはAからBへの射に対して定まるAへの射であってある種の普遍性をみたすものとして定義されるが, ここでは詳しく触れない。
- *39 コカーネル
- 直感的にいえば,
「AからBへの変換によって, Aから移った部分をBの全体から差し引いてまだ残っている部分」 のこと。正確にはAからBへの射に対して定まるBからの射であってある種の (カーネルを定義するときと双対的な) 普遍性をみたすものとして定義されるが, ここでは詳しく触れない。
西郷 線型代数というものが例えばはじめて腑に落ちた,
- *40 直和
- 本書参照。直感的にいえば,
AとBの直和とは, AとBを必要十分な形で 「総合」 したもの。
- *41 直積
- 本書参照。直感的にいえば,
AとBの直積とは, そこから 「分析」 するとAとBが必要十分な形で導かれるもの。
非常に衝撃的じゃないかと思うんですね。もちろんその特殊,
- *42 モノイド
- 圏論的に定義すれば,
ただ一つの対象をもつ圏をいう。あるひとつの 「もの」 に対する操作の全体というものはモノイドと思える。力学系といわれるものは概ねモノイドの話と考えればよい。
- *43 加群
- 本書参照。大まかにいえば,
足し算や引き算を備えた数学的なシステム。
- *44 環
- 本文参照。大まかにいえば,
足し算, 引き算および掛け算を備えた数学的なシステム。
成瀬 負の要素があるとなにがよいのですか。
西郷 例をあげましょう。方程式でいうと,
- *45 イコライザ
- 本書参照。直感的にいえば,
AからBへの二つの射f, gのイコライザとは, それらを等しくするようなAの部分を言う。言い換えれば, 方程式f(x)=g(x)の 「解」。本文中においては解という漢字の上にイコライザとルビをふった。
成瀬 僕らが意思決定の研究で取り扱っているのは,アーベル圏*46で,
- *46 アーベル圏
- 線型代数
(加群に関する線型代数) が展開できるために必要十分な構造を備えた圏。
西郷 そのとおりです。アーベル圏の構造があれば,
- *47 カリキュラス
- 計算法のこと。狭義には
「微積分」 を指すことが多いが, ここではより緩く 「有効な計算法」 という意味で使っている。
記事中で紹介した書籍
-
圏論の道案内 ~矢印でえがく数学の世界~
圏論は最近人気がある数学の分野の1つで,その考え方はプログラミング,人工知能,物理など幅広い分野に応用されています。本書はそんな圏論を一から知りたい人に,圏...