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機械学習のための「ベクトル」の基礎知識

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機械学習とはコンピュータ自らに学習させることを言います。機械学習に必要な「ベクトル」について見てみましょう。

ベクトルの成分表示

ベクトルは「大きさと方向を持つ量」として定義され,矢のイメージで表現されます。このベクトルの矢を座標平面上に置くことで,ベクトルは座標で表現できます。これをベクトルの成分表示といいます。例えば,平面の場合,ベクトル$a$は次のように表現されます。

  • $a$$=(a_{1}$,$a_{2})$

図1 ベクトルの成分表示

図1 ベクトルの成分表示

【注】「始点を原点にしたときの終点の座標が成分表示」と理解して,応用上問題は起こらない

このようにベクトルを成分で表現すると,拡張が容易になります。抽象化して,$n$次元空間のベクトルは次のように表現できます。

$a$$=(a_{1}$,$a_{2}$,$…$,$a_{n}) ……$式1

ベクトルの内積

2つのベクトル$a$$b$のベクトルの内積$a・b$は次のように定義されます。

$a・b$$=|$$a$$||$$b$$|cosθ$($θ$は$a$,$b$のなす角)…… 式2

図2 ベクトルの内積

図2 ベクトルの内積

【注】ここで,$|$$a$$|$,$|$$b$$|$はベクトル$a$$b$の大きさ,すなわち矢の長さを表す

この内積の定義は平面や3次元空間では理解できますが,それ以上になるとイメージしにくくなります。そこで,式1の成分で内積式2を表してみましょう。

$a$$=(a_{1}$,$a_{2}$,$……$,$a_{n})$,$b$$=(b_{1}$,$b_{2}$,$……$,$b_{n})$のとき,

$a・b$$=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+……+a_{n} b_{n} ……$ 式3

勾配降下法では,関数$z=f(x_{1}$,$x_{2}$,$…$,$x_{n})$の増分$Δz$の近似公式が次のように表されることを利用します。

式3と比較すると,次のベクトルの内積$p・q$であることがわかります。

この最初のベクトル$p$関数の勾配と呼ばれるベクトルで,勾配降下法で活躍します。

※以上,Excelでわかる機械学習超入門「巻末付録C」より一部を抜粋。