ベクトルの内積から面の向きがわかる

ベクトルは方向をもった大きさで，矢印により表現されることが多い（図3⁠）⁠。矢印の長さが大きさ，矢じりは方向を示す。そして，内積はふたつのベクトルによる計算だ。計算結果は数値（実数）で，その値はふたつのベクトル同士の向きや角度に関わる。取りあえず，これくらいの情報を頭に入れておけばよい。

つまり，面の裏表を内積で調べようとすると，ふたつのベクトルが必要だということになる。ひとつは面の向きを示すベクトル。もうひとつは視線のベクトルだ。今回の正方形を回す場合なら，ふたつのベクトルの方向はすぐにわかる。面はz軸手前方向，視線は逆のz軸奥向きである。実は，面の向きを調べるだけであれば，ベクトルの大きさはどうでもよい。そういうときは，大きさを1に決めておくと，後あと計算が楽になる。

3次元空間のベクトルを表すために，ActionScript 3.0ではVector3Dオブジェクトを用いる。ということで，ふたつのベクトルの3次元空間座標は次の表1のように定められる。もちろん，面の向きは初期値で，アニメーションによって変わる。それに対して，視線は動かない。

そして，本題の内積だ。面の裏表を調べるには，視線と面のふたつのベクトルの内積から，その値の符号（正負）だけ取出せばよい（表2⁠）⁠。図4は水平に回る面をy軸の方向，つまり3次元空間の真上から見ている。内積の値は，視線と面のベクトルのなす角が鋭角のときは正，鈍角なら負の値になる。前者は面が裏向き，後者は表向きということだ。そして，内積がちょうど0のとき，面は真横を向いている。

ここまでくれば，内積の計算は簡単だ。Vector3D.dotProduct（）メソッドを呼出せばよい。なお，参照する（ターゲットの）Vector3Dオブジェクトと引数のVector3Dオブジェクトは，入替えても内積の値は同じになる。

• Vector3Dオブジェクト.dotProduct（もうひとつのVector3Dオブジェクト）

面の表と裏を塗替える

では，いよいよ第48回スクリプト2に手を加える。第1に，視線と面のベクトルをVector3Dオブジェクトとして変数（viewVector3DとfaceVector3D）に定める。視線のベクトルの座標（0, 0, 1）は，定数Vector3D.Z_AXISと同じだ。面のベクトルは，視線のベクトルの向きを逆にした（0, 0, -1）だった（前掲表1⁠）⁠。

第2は，面の表裏を調べる関数（xIsFront()）の定義だ。表のときtrue，裏ならfalseを返すことにする。この関数の引数はふたつ，面のVector3Dオブジェクトと変換行列のMatrix3Dオブジェクトにした。なぜなら，視線はもちろん，面のベクトルを示すVector3Dオブジェクトも動かないからだ。第48回につぎのように説明したことを想い起こしてほしい（⁠「⁠Utils3D.projectVectors()メソッドを使う」の項⁠）⁠。

今回3次元空間の頂点座標は動かさない。変換のMatrix3Dオブジェクトに回転を加えて，その結果のオブジェクトを変数（worldMatrix3D）に残す。つまり，座標ではなく変換行列で座標変換を管理するのだ。

したがって，面のベクトルが今どちらを向いているかを調べるには，変換のMatrix3Dオブジェクトが欠かせない。面の表裏を調べる関数（xIsFront()）は，まずMatrix3D.transformVector()メソッドを用いて今の面の向きをVector3Dオブジェクト（directionVector3D）として得る（メソッドについては，第42回「Vector3Dクラスの3次元空間座標とインスタンスへの描画」の「Vector3DインスタンスをMatrix3Dオブジェクトで座標変換する」の項参照⁠）⁠。つぎに，その面の向きのVector3Dオブジェクトと視線（viewVector3D）の内積を求めて，値が負なら表向きを意味するtrue，0以上ならfalseを返す。

// フレームアクションに追加
var viewVector3D:Vector3D = Vector3D.Z_AXIS;   // 視線のベクトル
var faceVector3D:Vector3D = new Vector3D(0, 0, -1）;   // 面のベクトル

function xRotate(eventObject:Event）:void {
  var nRotationY:Number = mySprite.mouseX * nDeceleration;
  var vertices2D:Vector.<Number> = new Vector.<Number>();
  xTransform(vertices2D, nRotationY）;
  var bFront:Boolean = xIsFront(faceVector3D, worldMatrix3D）;  // 面の表裏を調べる
  trace(bFront）;  // 確認用
  xDraw(vertices2D）;
}

// 面の表裏を調べる関数の定義
function xIsFront(myVector3D:Vector3D, myMatrix3D:Matrix3D）:Boolean {
  var directionVector3D:Vector3D = myMatrix3D.transformVector(myVector3D）;
  var bFront:Boolean = (viewVector3D.dotProduct(directionVector3D） < 0）;
  return bFront;
}

面の表裏を調べる関数（xIsFront()）は，正方形を回すDisplayObject.enterFrameイベントのリスナー関数（xRotate()）から呼出す。実際に表裏のテクスチャを切替えるには，面を塗る関数（xDraw()）にも手を加えなければならない。さしあたり確認用のtrace()関数で，戻り値（bFront）を［出力］している。実際に［ムービープレビュー］で確かめるときには，フレームレートを落とした方が見やすい（図5⁠）⁠。