【対談】『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』に先立って
第1回 圏論との出会い
- 日時:令和元年7月22日13時〜
- 場所:東京大学工学部14号館にて
- 『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』
(2019年8月9日発売) に先立って
- 西郷甲矢人
(さいごうはやと) - 『圏論の道案内』
著者の1人。1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学 (非可換確率論)。 - 成瀬誠
(なるせまこと) - 西郷先生と近年一緒に研究をされていて,
情報物理の観点から, 圏論の応用に取り組んでおられます。東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻 教授。
この対談では,
第1回 圏論との出会い
西郷 今日はどうもお忙しい中ありがとうございます。
成瀬 本日はどうもありがとうございます。私が圏論に出会いましたのは,
- *1 近接場光学,
ナノフォトニクス - 波長よりも小さな寸法での光をあつかう学術分野名。
- *2 光の波長
- 光が振動の1周期で進む長さ。人間の眼に見える光の波長は約400ナノメートルから800ナノメートル。1ナノメートルは10億分の1メートル。
それはなぜかって言いますと,
この問題はわたしの師匠のひとりである山梨大学の堀裕和先生がパイオニアとして長年に渡り考えてきた問題です。そこのところで出合ったのが圏論,
- *3 ホモロジー代数
- 図形のかたち
(トポロジー) を代数的に扱う数学を起源としているが, 現在では数学の広い範囲で用いられている。圏論とのつながりも強い。
西郷 今おっしゃられたことのうちで圏論の本質的な部分がすでにあぶり出されていると思うんですけれども,
こういう考えはある意味で非常に古い時代からあるわけですけれども,
成瀬 もう一つのきっかけは,
- *4 論理演算
- ここではブール代数
(0と1) によるデジタル演算を指している。反転演算 (0を1にする, 1を0にする), AND演算 (1と1のANDは1, それ以外は0) などからなる。
- *5 粘菌コンピューティング
- 単細胞生物である粘菌
(アメーバ) やその振る舞いを規範として用いる計算概念。巡回セールスマン問題や充足性可能性問題などの求解が示されている。
- *6 解探索
- ある条件を満たす解を探索すること。問題によっては,
解の候補としてあり得る可能性が爆発的に大きくなり (組合せ爆発), 求解が著しく困難になる。
西郷 われわれの協働が始まったのもその頃ですね。
成瀬 はい。こういったタイプの研究,
- *7 量子
- ここでは状態の重ね合わせを用いる量子コンピューティングを指している。
- *8 スピン
- ここでは電子の回転に関する自由度を活用した計算の可能性を指している。従来の電子デバイスは電荷を活用しており,
回転の自由度は使われていない。
西郷 なるほど。今のポイントっていうのは例えば,
- *9 意思決定
- ここでは不確実な環境下で適切な選択や行動を取ることを差している。意思決定の基盤のひとつに,
複数の報酬不明な選択肢から適切な選択をする多本腕バンディット問題が知られている。対談の成瀬と西郷らは光を用いたバンディット問題の解決やその圏論的理論構築に関する研究を行っている。
成瀬 そうですね。
西郷 成瀬先生と私は本来門外漢ではあるんですが,
- *10 ソフトロボット
- 柔らかい媒体からなるロボットの総称。様々な実現形態が示されているが,
ユニバーサルグリッパーと呼ばれるソフトロボットは, 腕の先端がコーヒー豆を詰め込んだゴムの袋からなり, いかなる形状の対象もおよそ掴み取ることができる。
- *11 モビリティの圏
- 可能な状態を対象とし,
可能な状態遷移を射とする圏。
本書でも述べているように,
- *12 状態遷移
- 状態が他の状態に変化するプロセス。
大変素朴な概念で,
成瀬 そうですね。
西郷 一言付け加えるなら,
- *13 状態
- ある系
(システム) の状態とは, その系と環境 (系と密接な関係をもつ系) との相互関係のあり方 (インターフェース) を言う。数学的には, 系の物理量からなる代数上の期待値汎関数 (各物理量に対し, その期待値を対応させる関数) をいう。しばしば状態は系に内在するものとして考えられているが, 実際には系と環境との相互関係のあり方と見るべきであるとの観点は小嶋泉らによって (代数的量子場理論の知見に基づいて) 強調されてきた。
成瀬 その通りですね。
西郷 ちょっとお話を転じますけれど,
- *14 光コンピューティング
- 光を用いたコンピューティングの総称。
成瀬 日本光学会の会誌のですね。
西郷 そこ中で超準解析と並んで圏論のお話を書かれていたんですが,
こういう同じさは本書でも出てくる
記事中で紹介した書籍
-
圏論の道案内 ~矢印でえがく数学の世界~
圏論は最近人気がある数学の分野の1つで,その考え方はプログラミング,人工知能,物理など幅広い分野に応用されています。本書はそんな圏論を一から知りたい人に,圏...