【対談】『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』に先立って
第2回 計測と圏論/合成系を作る
- 日時:令和元年7月22日13時〜
- 場所:東京大学工学部14号館にて
- 『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』
(2019年8月9日発売) に先立って
- 西郷甲矢人
(さいごうはやと) - 『圏論の道案内』
著者の1人。1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学 (非可換確率論)。 - 成瀬誠
(なるせまこと) - 西郷先生と近年一緒に研究をされていて,
情報物理の観点から, 圏論の応用に取り組んでおられます。東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻 教授。
第2回 計測と圏論/合成系を作る
成瀬 私は西郷先生にいろいろ学んだので,
- *15 圏同値
- 圏と圏の間の
「本質的な等しさ」 (詳しくは本書118ページを参照)。ふたつの圏が圏同値であるとしても, 対象や射が一対一に対応しているとは限らない。ふたつの圏の射や対象の 「豊かさ」 が異なっていても, それらが圏同値であることはありうる。一方, 圏同値なふたつの圏は, あらゆる 「圏論的な性質」 を共有する。
それで翻ってみると,
西郷 環境は毎回変わりますから,
成瀬 そう。もっと上位な問題もどんどん入ってきます。例えば簡単に見えますが体重計。それは私たちの体重が高々何キロであったりだとか,
- *16 インテンショナルセンシング
- センシング
(物事を測ること) はそれを如何に活用するかという意図 (インテンション) に基づいており, 単に物量等を測ることだけでなく, システムの設計, 分析, 運用などを含めたアーキテクチャとして捉える概念。
西郷 測定っていうとわれわれ門外漢からすれば単に測定される
成瀬 あとセンサーフュージョン*17という考え方があって,
- *17 センサーフュージョン
- 複数のセンサーデータを総合することでより的確・
適切な認識, 行動を可能とさせ, 新たな機能を構築するシステム概念, 技術。
西郷 これは初めて見ましたね。おもしろいですね。
成瀬 「複合」
西郷 インテンションというと,
その時にすごく圏論というのが役に立つ。本書でも書きましたが,
成瀬 なるほど。
合成系を作る
西郷 私の学生時代には,
成瀬 なるほど。
西郷 当然人間の根源的な思考回路といいますか,
- *18 有向グラフ
- 「頂点」
と 「矢印」 からなるシステム。各矢印にはその根元と先端の 「頂点」 が定まっている。圏は (大まかには) 「合成の概念を備えた有向グラフ」 といえる。
有向グラフは本書でも扱っていますが,
こういうことが出来るっていうのが知能の根源的な正確,
成瀬 なるほど。
西郷 何が言いたいかっていうと,
- *19 自然知能
- 自然界の多様な現象を知的機能へ発展させる概念の総称。自然界の数物構造を知的機能に活用する鍵は,
現象全体を精密に取り扱うことでは必ずしもなく, 合成された物事の全体性を考察し, 課題を解決する決め手となるインタフェースにおいて, 現象の構造や性質を精緻に捉えること。そのため, 数物理論で記述された自然ではなく, 本来の自然を数物構造でどう表現し理解するかに取り組む態度が必要。そのため圏論的アプローチは有用と考えられている。
成瀬 それはもう本当に難しい問題で,
- *20 ムーアの法則
- 半導体集積回路の集積度に関する経験則あるいは将来予測。ゴードン・
ムーアが提唱し, 実際に指数関数的に集積度が高まってきた (18ヶ月で2倍)。
そのときにやっぱり圏論かどうかはわからないですが,
それから,
- *21 合成可能性
- ここでは,
AからBへの射 (f), BからCへの射 (g) が存在するとき, AからCへの射 (g○f) が存在するという圏論の定義を規範として, f と g という別のシステムを合成することで新たなシステムが構築されるか否かという観点をハイライトしている。
- *22 応用圏論
- Applied Category Theory の日本語訳。圏論を様々な応用分野に展開することを目指している。
- *23 Compositionality
- “An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality”
( David I. Spivak, Brendan Fong著)
西郷 Spivakさんは私の飲み友達なんです。まあ忘れられているかもしれませんが
成瀬 彼らも今ちょっと,
記事中で紹介した書籍
-
圏論の道案内 ~矢印でえがく数学の世界~
圏論は最近人気がある数学の分野の1つで,その考え方はプログラミング,人工知能,物理など幅広い分野に応用されています。本書はそんな圏論を一から知りたい人に,圏...