【対談】『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』に先立って

第4回 世界の見方を拡げる

この記事を読むのに必要な時間:およそ 2.5 分
  • 日時:令和元年7月22日13時〜
  • 場所:東京大学工学部14号館にて
  • 『圏論の道案内 〜矢印でえがく数学の世界』⁠2019年8月9日発売)に先立って

西郷甲矢人(さいごうはやと)
『圏論の道案内』著者の1人。1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学(非可換確率論)⁠
成瀬誠(なるせまこと)
西郷先生と近年一緒に研究をされていて,情報物理の観点から,圏論の応用に取り組んでおられます。東京大学大学院情報理工学系研究科システム情報学専攻 教授。

対談風景

左:成瀬誠先生  右:西郷甲矢人先生

第4回 世界の見方を拡げる

西郷 ところで,自然変換の話を取り上げましたが,個人的にでもいいですし,研究でもいいですが,圏論を学んできて,圏論をやっていてよかったなあ,お得だなあなんて思った,そういうご経験はありますか?

成瀬 実用的なメリットというよりも世界の見方が広がりますよね。⁠同じ」ということに関する見方がいろいろある。それと,これはホモロジー代数や三角圏*30での話ですけれども,一見関係なさそうな環境が実は全部つながっているということ(蛇の補題)⁠何が何に功を奏するかにわかには分からないのだけれども実は全部が繋がってしまうというホモロジー長系列*31とか三角圏とか,ああいうのをみると,人生哲学としても何か示唆するものがあるように思います。

*30 三角圏
加法圏における複体にホモトピー同値を導入すると三角圏が得られる。三角圏の公理のひとつとして知られる「八面体公理」は,6個のオブジェクトが八面体状に配置され,その上に4個の三角系列(三角形をループする系列)が存在することを述べている。
*31 ホモロジー長系列
複体の完全列が存在するとき,ホモロジーの完全系列が存在すること。

西郷 なるほど。

成瀬 それから私はまだ随伴*32のところまで完全にはマスターできていないのですが,そこが次のチャレンジだと意識しているんですけれども,随伴は非常にびっくりするような見方を提供してくれる感じがしています。⁠忘却」「自由構成」の随伴とか。赤ちゃんと大人の随伴関係など書物によっては例え話が出ていますが,ああいうのはちょっとびっくりします。一見関係なさそうなものが実はつながっているんだとそういうようなものが工学的にもパッとわかるような形で示すことができると,もろもろ有意義なこともあるのではと。フーリエ変換*33は自然変換の一種であるとか。

*32 随伴
二つの圏を行き来する二つの関手がある種の「密接な関係」⁠二つの自然変換によって記述される)を持っているとき,随伴関係にあるという(より正確な説明は本書の218ページ参照)⁠このとき,ふたつの圏は,圏同値よりも緩い意味で「本質的に同じ」と思える。とくに,一方の圏が他方の圏に「包まれて」いながら,随伴の意味で「本質的に同じに」なっている場合,⁠包まれながら包んでいる」とでもいうべき面白い状況が起こる。それが対談本文でも述べられている「忘却」関手と「自由構成」関手による随伴関係である。あるものをより一般的なものとして「細かいことを忘れる」という操作が「忘却」にあたり,より一般的なものからそれと「同じ情報をもつ」特殊なものを作り出すのが「自由構成」である。
*33 フーリエ変換
関数を,三角関数(複素指数関数)の重ね合わせと見なすことで得られる「見方の転換」⁠自然変換の重要な一例。

西郷 そうですね。

成瀬 自分の場合,なにか手を動かすというか,実践してみないと分からないみたいなところがあるのですが,堀先生との近接場光学,その後の解探索,意思決定,そして西郷先生とのソフトロボティクス。こういったプラクティスで実際にそこそこの結果が出たので圏論を知ってよかったというのは間違いありませんね。しかしまあ,楽しい,面白い,拡がる,ということなのですが。

西郷 随伴でいうと,本書の第10章にある通り「ごめんなさい」としか言いようがないんですが,本書の中では随伴とモナドについては本当に入口のことしか触れていないですね。というのは,この本の主眼自体が自然変換なので,そこをまずはわかってもらう。そして,そのうえで随伴もモナドもいろんなところで,あ,ここにもあった!みたいな感じで読者の方々にどんどんチャレンジしてもらればと思うんですけれども,さっきちょっと触れられた忘却とか生成というのは,この本では扱えていないのですが,要するにある特殊な概念を,たとえば群がありますが,*34それが単に集合というもので,ある種の構造が入っているんですけれども,その構造を一端忘れる=忘却関手という形でとらえる,そうすると,特殊なものは一般のものの一部で,これはある種「当たり前」です。

*34 群
圏論的に定義すれば,ただ一つの対象をもち,すべての射が可逆であるような圏をいう。つまり「可逆なモノイド」⁠あるひとつの「もの」に対する可逆な操作の全体というものは群と思える。

それに対して一般のものを特殊なものにもってこれるというのが自由構成。たとえば集合が与えられたらそこから自由群*35という群を必ずシステマティックに作れます,というわけですね。そうすると,特殊なものと一般のものが,単に対立して一方向的に思えるものが,特殊なんだけれども一般を余裕で包み込めるような関係になる。そういうものを扱えるというのが随伴の1つの旨みですよね。包まれているものが包むというような構造,それはまさに我々が「知」というものを考えるときにも重要です。すべてを分かっているはずはないのだけれども,ある意味何が来てもOK,足し算原理が分かっていれば,未知の問題におびえる必要はなく,必ず何かそういう典型的なものに置き直して考えることができるという非常にダイナミックな構造がある。元指導教官である小嶋泉氏の言葉を借りれば,一種のデュアリテイ(双対性)ですね。見えないものと見えるものとのね。そういうのが非常に大事なポイントだと思うんです。

*35 自由群
集合から自由構成される群(自由構成については随伴の項を参照)⁠大まかに言えば,集合の要素どうしの間に,⁠ただ並べる」という演算を定義したものと考えてもよい。しかし構成の仕方そのものよりも,単なる集合から群をシステマティックに作れることが重要。

成瀬 忘却の例で,ある本で見たのが,これ(携帯電話)⁠これを本にこんなふうに置くと本の重しとして使えるわけです。

携帯を本の重しとして利用

スマホの機能は一切忘れて。忘却関手*36になっているわけです。

*36 忘却関手
随伴の項を参照。

西郷 なるほど。

成瀬 そう,スマホが重しになるという忘却はすっきりわかる。けど逆側,つまり重しが携帯になれるということが自由構成なんでしょうが,そこがいまいちぴんとこないんですよね。

西郷 まさにそれは当り前ではないわけです。

成瀬 当たり前ではないです。

西郷 ⁠随伴」である場合にはそうなるというわけです。

成瀬 なるほど。

西郷 忘れること自体はあたりまえにできるとしてそれが随伴を持つのかというところが非自明。もつ場合,すなわち随伴関係にある場合には,特殊と一般が精妙につながっている。

成瀬 なるほどね。

西郷 いってみれば,最適化問題*37が解けるという,そういう特例的に素晴らしい状況設定ができた場合に随伴関係ができる,そういう感じなんです。だから,物質全体のなかにおけるケータイっていうのがもちろん忘却することができるとして,そこから,任意の物質をケータイに自由構成できるかっていうと,少なくとも,現時点での技術ではもちろん不可能ということになるでしょうね。

*37 最適化問題
ある規範に基づいて定義された量を最大または最小にする問題。

成瀬 なるほど。ソフトロボティクスというのはそこに新しい可能性を与えてるように思いますね。あとJSTのさきがけで「革新的コンピューティングの開拓(領域総括:井上弘士九州大学教授)⁠という領域があって,アドバイザとして関わらせてもらっているのですが,神戸大学の三浦典之准教授が提案している「Triturated Computing(粉末コンピューティング)⁠も関係あるかもしれませんね。

西郷 粉末コンピューティング?

成瀬 ええ,コンピューティングの部品を粉々に,飲めるくらいに粉々にして,本当に飲み込んで,体内でコンピュータとして再構築すると。すごい発想ですね。忘却し構成です。

西郷 なるほど。ハードな操作という特殊なものがあって,それに対して膨らませる,膨らませるんだけれども,ある意味では最終的には文字通りにはコントロールしていないんだけれども,コントロールしたい部分に対してはきっちりとコントロールできている。意思決定のときも,すべての偶然現象ですから,すべてコントロールできないけれども,それに何が正解かわからないんだけれども,よく勝てるようにはなる。そういう構造だと思いますね。

著者プロフィール

西郷甲矢人(さいごうはやと)

1983年生まれ。長浜バイオ大学准教授。専門は数理物理学(非可換確率論)。