目次

第1章　情報検索を実現する数理

• 1-1　はじめに
• 1-2　Web検索に用いられる基礎的な数理モデル
• 1-3　検索結果の“良し悪し”を評価する―適合率と再現率―
• 1-4　ユーザー行動の平均値を数理モデルで表現する―総和記号Σ―
• 1-5　索引語を数値化する―ベクトル化―
• Column　自然言語処理におけるベクトル化
• Lesson　ベクトルと行列
• 1-6　索引語の出現頻度を数理モデルで表現する―比例と対数―
• Lesson　対数の性質
• 1-7　索引語の珍しさを数理モデルで表現する―反比例と対数―
• 1-8　文書のランキングを数理モデルで表現する―TF-IDFモデル―
• 1-9　本章で得られた学び
• Column　さらなる学びに向けて―Retrieval Augmented Generation―

第2章　商品推薦を実現する数理

• 2-1　はじめに
• 2-2　商品の評価を数理的に表現する―評価値行列―
• 2-3　評価値の予測を数理モデルで実現する―協調フィルタリングと行列因子分解―
• Column　内容ベースフィルタリング
• 2-4　ユーザー同士の類似度で予測値を推計する―内積の定理とコサイン類似度―
• 2-5　コサイン類似度の意味を考える―三角関数―
• Lesson　内積の図形的解釈
• 2-6　コサイン類似度を複数のアイテムに適用する―多次元への拡張―
• 2-7　コサイン類似度を改良する―中心化―
• 2-8　コサイン類似度を計算する―指示関数―
• 2-9　欠損値を推計する数理モデルを設計し、計算を実行する
• 2-10　アイテム同士の類似度で予測値を推計する
• 2-11　ユーザー目線で数理モデルを再考する―セレンディピティ―
• 2-12　課題解決のために数理モデルを変更する―行列因子分解―
• Lesson　行列の積の計算
• 2-13　評価値の推計を最適化問題に置き換える―残差行列と誤差―
• 2-14　最適化問題を解く―損失関数―
• Column　ハイパーパラメータ
• 2-15　損失関数を最適化する―最小二乗法と微分・偏微分―
• Lesson　微分
• Lesson　微分・偏微分の計算例
• 2-16　計算結果を統合して数理モデルを導出する―偏微分と総和記号Σ―
• 2-17　更新式を設計して予測値を推計する―勾配降下法―
• 2-18　勾配降下法の計算例
• 2-19　数理モデルの違いを俯瞰する―協調フィルタリングと行列因子分解―
• 2-20　本章で得られた学び

第3章　画像分類を実現する数理

• 3-1　はじめに
• 3-2　深層学習モデルで画像分類を実現する―Convolutional Neural Network―
• 3-3　CNNにおける画像データ処理の流れを俯瞰する
• 3-4　単純な例を用いてCNNの仕組みを理解する―畳み込み層とプーリング層―
• 3-5　画像データに対するCNNの処理を理解する―重みパラメータとバイアス―
• Column　パラメータ・バイアス
• 3-6　確率的な予測によって画像認識を行う―ソフトマックス関数―
• Column　AIのブラックボックス化
• 3-7　誤差を最小化して画像認識の精度を向上させる
• 3-8　損失関数を定義する―対数尤度関数―
• 3-9　出力層のパラメータの影響範囲を考察する―合成関数―
• Lesson　合成関数の微分
• 3-10　出力層のパラメータによって損失関数を最適化する―偏微分―
• Lesson　ネイピア数
• 3-11　出力層のパラメータによる損失関数の偏微分結果を導出する
• 3-12　畳み込み層のパラメータの影響範囲を考察する―合成関数―
• 3-13　畳み込み層のパラメータによる損失関数の偏微分結果を導出する
• 3-14　誤差逆伝播法の意味を数理モデルから読み取る
• 3-15　本章で得られた学び

第4章　文章生成を実現する数理

• 4-1　はじめに
• 4-2　大規模言語モデルを実現する数理モデルを俯瞰する―Transformer―
• 4-3　確率的予測モデルによって出力を生成する
• 4-4　入力データを数理モデルに適した形式に変換する―単語埋め込み―
• 4-5　単語の順序に関する情報を加算する―位置符号化―
• 4-6　Transformer の核心部分を俯瞰する―Multi-Head Attention―
• 4-7　head 内における計算処理を理解する―行列積と転置行列―
• 4-8　位置符号化の重要性を理解する
• 4-9　行列積の計算結果をスケーリングする―ソフトマックス関数―
• 4-10　各headの計算結果を結合する
• 4-11　各トークンの要素を正規化する
• 4-12　精度向上のためにさらなるデータ処理を行う―活性化関数―
• 4-13　自己回帰的なデータ処理によって出力を生成する
• 4-14　参照するトークンを限定する―Masked Multi-Head Attention―
• 4-15　エンコーダで処理された情報を統合する―Cross-Attention―
• 4-16　確率的予測に基づいて出力を生成する
• 4-17　本章で得られた学び
• Column　さらなる学びに向けて―Transformerが組み込まれた先端AIの例

第5章　音声解析を実現する数理

• 5-1　はじめに
• 5-2　本章で考察する数理モデルを俯瞰する―フーリエ解析―
• 5-3　単純な形状の波を周期関数で表現する―三角関数―
• 5-4　周期関数の特徴を捉える―周波数と角周波数―
• 5-5　複雑な形状の波を複数の周期関数で表現する―フーリエ級数展開と級数展開―
• 5-6　三角関数を近似的に表現する―sinxのマクローリン展開―
• Lesson　三角関数の微分
• 5-7　オイラーの公式の導出に向けて準備する―cosxのマクローリン展開―
• 5-8　オイラーの公式の導出に向けて準備する―指数関数のマクローリン展開―
• 5-9　オイラーの公式を導出する
• Column　デカルト、ニュートン、ライプニッツ、オイラー
• 5-10　複雑な形状の波を複数の周期関数で表現する―フーリエ級数展開―
• Lesson　三角関数の合成
• 5-11　フーリエ係数を導出する―定積分―
• Lesson　積分その1
• Lesson　積分その2
• 5-12　フーリエ係数an,bnについて考察する―場合分け―
• 5-13　場合分けによってフーリエ係数を考察する―m≠nの場合―
• 5-14　場合分けによってフーリエ係数を考察する―m＝nの場合―
• Lesson　直交性
• 5-15　フーリエ係数an,bnを導出する
• Column　数理思考を積み上げる
• 5-16　オイラーの公式を用いてフーリエ級数展開を求める
• Lesson　虚数と複素数
• 5-17　複素フーリエ係数を求める
• 5-18　アナログデータをデジタルデータに変換する―標本化と量子化―
• 5-19　音声データを数理モデルで表現する―離散フーリエ変換―
• 5-20　離散フーリエ変換による音声解析の例
• 5-21　本章で得られた学び
• Column　さらなる学びに向けて―音声認識AIの全体像―

第6章　衛星測位を実現する数理

• 6-1　はじめに
• 6-2　衛星と受信機の距離を計算する―時間×速さ―
• 6-3　受信機の位置を幾何学的に解析する―連立方程式―
• 6-4　連立方程式を設計する―全微分と合成関数の微分―
• 6-5　設計した連立方程式を解く―逐次近似法―
• 6-6　衛星の位置を数理モデルで表現する―ニュートン力学―
• 6-7　衛星の運動を数理モデルで表現する―万有引力の法則と運動方程式―
• 6-8　衛星の運動を運動方程式で表す―位置ベクトル、速度ベクトル、加速度ベクトル―
• 6-9　衛星の運動の表現に適した座標空間を適用する―極座標空間―
• 6-10　衛星の位置を数理モデルで表現する―三角関数の微分と関数の積の微分―
• 6-11　衛星の運動に関する関係式を導出する―係数比較―
• 6-12　衛星の位置に関する方程式を導出する―常微分方程式―
• Lesson　2階線形微分方程式／単振動の微分方程式
• 6-13　衛星の運動を楕円で表現する―極方程式と離心率―
• Lesson　楕円の方程式と極方程式の導出
• 6-14　衛星の位置を数理モデルで表現する―楕円の方程式―
• 6-15　軌道面と楕円の形状から衛星の位置を推計する―ケプラーの6軌道要素―
• 6-16　衛星測位を阻む要因について考える
• 6-17　時間のズレが衛星測位の誤差を生む―特殊相対性理論と一般相対性理論―
• Column　絶対時間と相対時間
• 6-18　特殊相対性理論に基づく時間のズレを考察する―ローレンツ因子―
• 6-19　一般相対性理論に基づく時間のズレを考察する―アインシュタイン方程式とシュヴァルツシルト解―
• 6-20　シュヴァルツシルト解を用いて時間のズレを考察する
• 6-21　本章で得られた学び

巻末付録1　相対性理論の数理的補足

• マクスウェル方程式から導出される波動方程式と光の速さ
• ガリレイの相対性原理と慣性系
• ガリレイ変換の導出と速度の合成則
• ガリレイ変換を電磁波の波動方程式に適用する
• アインシュタインによる特殊相対性原理と光速度不変の原理
• ローレンツ変換の導出
• ローレンツ変換を電磁波の波動方程式に適用する
• 特殊相対性原理に基づく速度の合成則
• 特殊相対性理論に基づく時間のズレ
• 一般相対性理論が導き出したアインシュタイン方程式
• アインシュタイン・テンソルの構造
• 計量テンソル
• 世界間隔と不変量
• 固有時
• 一様な重力場における時空の曲がり具合を示す
• 現実の重力場における時空の曲がり具合を示す
• 等価原理
• Lesson　重力ポテンシャル
• アインシュタイン方程式
• 本付録の結び

巻末付録2 フーリエ変換の導出

• はじめに
• 非周期関数に対応するために数理モデルを拡張する
• 周期を無限大にして非周期関数に対応する
• Lesson　積分その3
• 複素フーリエ級数展開からフーリエ変換を導出する
• 本付録の結び