「集合と位相」をなぜ学ぶのか
―数学の基礎として根づくまでの歴史

書籍の概要

この本の概要

抽象的でわかりづらいと評判のよくない因果な科目「集合と位相」。そもそもいったいなぜこんなことを学ぶの？　本書を読めば「集合と位相」に刻まれた数学者たちの創意工夫，そして数学の発展の過程がみるみる見えてきます。

こんな方におすすめ

  • 「集合と位相」の授業でつらい思いをしている学生の方
  • 現代数学に興味がある一般の方

目次

第1章　フーリエ級数と「任意の関数」

  • 1.1　フーリエの時代
  • 1.2　熱伝導方程式とフーリエ級数
  • 1.3　フーリエ級数の実例
  • 1.4　フーリエの理論の問題点

第2章　積分の再定義

  • 2.1　式としての関数: 18世紀まで
  • 2.2　ディリクレの定理
  • 2.3　リーマン積分
  • 2.4　積分可能性をめぐる混乱

第3章　実数直線と点集合

  • 3.1　点集合
  • 3.2　実数の連続性の3つの表現
  • 3.3　実数は可算でない

第4章　平面と直線は同じ大きさ？

  • 4.1　集合の用語と記号
  • 4.2　集合とその濃度
  • 4.3　数学の基礎としての集合論－デデキントの業績
  • 4.4　直線と平面は同じ大きさ

第5章　やっぱり平面と直線は違う

  • 5.1　カントールの憂慮
  • 5.2　平面の点集合, 点列の収束とε-近傍
  • 5.3　写像の連続性
  • 5.4　内部と外部と境界
  • 5.5　閉包
  • 5.6　開集合と閉集合
  • 5.7　位相同型写像と同相な点集合
  • 5.8　連結性
  • 5.9　平面と直線は同相でない
  • 5.10　位相ということば

第6章　ボレルの測度とルベーグの積分

  • 6.1　新しい解析学
  • 6.2　測度
  • 6.3　ハイネ－ボレルの定理
  • 6.4　ルベーグと測度の問題
  • 6.5　可測関数とルベーグ積分
  • 6.6　ルベーグ積分の特長
  • 6.7　測度と確率論

第7章　集合と位相はこうして数学の共通語になった

  • 7.1　ユークリッドと2000年間の難問
  • 7.2　構造の研究としての数学
  • 7.3　まとめ: 数学の共通語としての集合と位相