目次

• プロローグ――ガンジス川の砂

第1章　さまざまな無限

• 1-1　消えたジンジャーエールの瓶
• 1-2　ヒルベルトの無限ホテル
• 1-3　無限は数ではない
• 1-4　素数は無数にある（無限観の変容)
• 1-5　無限に出あわない理由？（アルキメデスの原理）
• 1-6　線分上の点の数
• 1-7　無限の遠方と平行線
• コラム1-1：ジンジャーエールを使ったカクテル
• コラム1-2:アルキメデスという人
• コラム1-3:とり尽くし法による、円錐の体積の計算

第2章　実数の連続性をささえる無限

• 2-1　無限小数と出会う
• 2-2　実数〈ルート2〉を追跡せよ
• 2-3　犯人は蒸発しない（実数の連続性）
• 2-4　無限和は足し算だろうか
• 2-5　p進整数の世界
• 2-6　調和級数とライプニッツの級数
• コラム2-1：ゼロで割り算をしてはいけない理由
• コラム2-2：円周率πの数値計算について
• コラム2-3：循環小数と非循環小数
• コラム2-4：ワイエルシュトラスの原理
• コラム2-5：ライプニッツという人

第3章　ゼノンのパラドックス

• 3-1　ゼノンの4つのパラドックス
• 3-2　数と変化
• 3-3　数と反復
• 3-4　アキレスとカメ
• 3-5　ちょっと数学的に考えてみる
• 3-6　慣性の法則と時間の計量
• 3-7　時間と空間の連続性
• 3-8　証明の完成
• コラム3-1：パラドックスという言葉
• コラム3-2：ギリシャリクガメ

第4章　数のシステム

• 4-1　数学的帰納法
• 4-2　なぜ、自然数論の公理が必要なのか（そもそも公理とは？）
• 4-3　ペアノの自然数論
• 4-4　デデキントの自然数論とフレーゲの自然数論
• 4-5　自然数から整数へ
• 4-6　整数から有理数へ
• 4-7　有理数から実数へ
• 4-8　実数直線の連続性の証明
• 4-9　実数から複素数へ
• コラム4-1：浮世根問とソクラテス

第5章　無限と連続の謎と魅力

• 5-1　再び、ヒルベルトの無限ホテル（可算無限）
• 5-2　実数の全体は可算でない
• 5-3　カントールの集合論と、無限に多くの無限
• 5-4　連続体問題
• 5-5　ロビンソンの超準解析
• 5-6　百科事典棒
• 5-7　連続体と「アガスティアの葉」
• コラム5-1：カントールの定理と対角線論法

• エピローグ――連続体と時間と無限