知の扉シリーズ【完全版】天才ガロアの発想力
―対称性と群が明かす方程式の秘密―
―対称性と群が明かす方程式の秘密―
2019年7月6日紙版発売
2019年7月6日電子版発売
小島寛之 著
四六判/292ページ
定価1,958円(本体1,780円+税10%)
ISBN 978-4-297-10627-0
書籍の概要
この本の概要
2010 年に刊行した『天才ガロアの発想力』を大幅加筆しました。
主な加筆は次の3点です。
- ベクトル空間を導入したガロアの基本定理の完全証明
- 四則計算とべき根で解ける方程式,解けない方程式についても具体的に解説
- 補足章として,本書で扱った補助定理(アーベルの定理,コーシーの定理,デデキントの定理など)の証明を収録
こんな方におすすめ
- ガロア,ガロア理論に関心がある人
- 群,体について学びたい人
- 方程式が解けるなぞを知りたい人
- 有名定理の証明に興味がある人
本書のサンプル
本書の紙面イメージは次のとおりです。画像をクリックすることで拡大して確認することができます。
目次
第1章 方程式の歴史をめぐる冒険
- 2次方程式を最初に解いたのは古代バビロニア人
- 2次方程式に解が2つあることはインド人が発見した
- 3次方程式の舞台はイタリアになった!
- 秘密の必殺技はなぜ漏れたのか?
- 4次方程式にも悲劇の歴史が
- 方程式と対称性の関係に気づいた人々
- 悲運の数学者アーベル
- 天才ガロアの登場
- ガロアの前代未聞の発想
第2章 2次方程式でガロア理論をざっくり理解
- 飽和した数の世界
- ルート数の作る体
- 分母の有理化が役に立った!
- 有理数の拡大体はいろいろある
- ベクトル空間という見方
- 2次拡大の2次拡大は4次拡大
- 体Kをかき混ぜる
- 体Q(ルート2)の自己同型は2種類ある
- 体をベクトル空間と見ると同型写像はどうなる?
- 体Q(ルート2)の自己同型は他にもあるか?
- 2次方程式でガロアのアイデアをかいつまもう
- 2次方程式の解から代数体を作ろう
- 2次体の自己同型を突き止めよう
- 自己同型を突き詰めていくと解の公式が得られる!
第3章 「動き」の代数学〜群とは何か
- 「群」という発想
- 入れ替え操作から群を作る
- あみだクジが生み出す群
- 群を正式に定義しよう
- あみだクジの秘密
- 有限群とお近づきになろう
- まずは,非常にシンプルでばかばかしい例
- 図形の対称性は群の源だ
- 群は,私たちの実生活でも役に立っている!
- Column ガロアの別定理〈前編〉
第4章 群は対称性の表現だ〜部分群とハッセ図
- 群のおなかの中の小さな群
- 正方形の対称操作の群の部分群をすべてみつけよう
- 巡回群という特別な群
- ハッセ図とは,部分群の家系図
- 部分群を使って群全体を分類する
- 区分けした領域が再び群の構造を持つことがある
第5章 空想の数の理想郷〜複素数
- 負数とその平方根
- 3次方程式の解法がタブーを突破した
- 虚数単位iは,どっちがどっち?
- 虚数単位から体を作ろう
- 空想の理想郷〜複素数
- 複素数を目に見えるようにする
- 1のべき根の作る美しい図形
- べき根を付け加えた体はどんな体か
第6章 3次方程式が解けるからくり
- 3次方程式の解の公式
- 3次方程式の解の公式を学校で教わらない理由
- フォンタナは3次方程式の解の公式をどうやって見つけたか
- 3次方程式はなぜ解けるのか
- 3次方程式の解の作る代数体の自己同型
- 体Kの自己同型の群とその部分群たち
- ガロアの発見した部分群と固定体との対応
- 固定体Mの自己同型はどんな群?
- ハッセ図から解の公式へ
- Column ガロアの別定理〈後編〉
第7章 5次以上の方程式が解けないからくり
- ガロアの成し遂げたこと
- ガロアの定理の証明:超ざっくり版
- ガロアの定理の証明:簡易版
- 「それなり版証明」を開始しよう
- 4次方程式で具体例を見てみよう
- 自己同型写像を全部求める
- 自己同型群の解への作用
- 中間体を見つけよう
- ガロアの基本定理1の証明
- 解けない方程式の「からくり」はこうだ(それなり版証明)
- x^5−10x+5=0が解けない理由
- 6次以上の方程式にも解けないものがある
- 解ける方程式の「からくり」はこうだ
第8章 ガロアの群論のその後の発展
- ガロアの発想は数学の最先端へ
- こんがらがった紐の理論〜基本群
- 曲面の上でのループの群を考える
- ポアンカレ予想を解決したペレルマン
- 繰り返し模様の幾何学
- 箱と包み紙の幾何学
- トーラス面の被覆空間
- 被覆空間の基本群
- 被覆空間の基本群は元の空間の基本群の部分群になる!
- 被覆空間にもガロアが降臨する
- 微分方程式のガロア理論
補足章
- あとがき
- 参考文献,かつ,お勧めの本
- 索引
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