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数学への招待 曲がった世界の三角形の定理たち 〜非ユークリッド幾何学入門⁠〜

「曲がった世界の三角形の定理たち」のカバー画像
著者
市原一裕（いちはらかずひろ），牛島顕（うしじまあきら）　著
定価
2,200円（本体2,000円＋税10%）
発売日
2024.1.4
判型
四六
頁数
240ページ
ISBN
978-4-297-13945-2 978-4-297-13946-9

サポート情報

概要

ユークリッド幾何学というのは、数学を学ぶときにふだん使っている平面・空間（幾何学）です。それに対して非ユークリッド幾何学があります。これまでに学んできた図形に関する事柄を曲がった世界、非ユークリッド幾何学の観点で見てみるとどうなるか、図と式でわかりやすく解説します。たとえば、高校で学ぶ正弦定理や余弦定理を非ユークリッド幾何学で考えると、驚くべきことにユークリッドで見たときと似たような式が出てくるのです。それは一体何を表しているのでしょうか。双曲幾何学、球面幾何学についても丁寧に解説します。

こんな方にオススメ

  • ユークリッド幾何学、非ユークリッド幾何学、双曲幾何学、ポアンカレ予想などに興味がある人

目次

  • はじめに

第0章　平行線の公理と幾何学

  • 0.1　ユークリッド幾何学について
  • 0.2　第5公準と平行線の公理
    • COLUMN　Q.E.D.（証明終わり）
  • 0.3　双曲幾何学について
  • 0.4　球面幾何学について
    • COLUMN　楕円幾何学

第1章　曲がった世界と直線

  • 1.1　ユークリッド幾何学
    • COLUMN　直積集合（direct product）
  • 1.2　球面幾何学
    • COLUMN　球面三角形の面積
  • 1.3　双曲幾何学
    • COLUMN　双曲幾何学と虚数を半径とする円
    • COLUMN　ミンコフスキー内積と双曲面モデル

第2章　道のりと距離

  • 2.1　道のりと距離
  • 2.2　ユークリッド平面上の2点間の距離
  • 2.3　球面上の2点間の距離
  • 2.4　双曲面上の2点間の距離

第3章　角度と内積

  • 3.1　2直線のなす角
  • 3.2　極座標表示
  • 3.3　2点間の距離と内積

第4章　平行移動

  • 4.1　ユークリッド平面上の平行移動
  • 4.2　球面上の平行移動
  • 4.3　双曲面上の平行移動

第5章　正弦定理

  • 5.1　ユークリッド三角形の正弦定理
  • 5.2　球面三角形の正弦定理
  • 5.3　双曲三角形の正弦定理
  • 5.4　正弦定理の統一的な表示
    • COLUMN　正弦定理と外接円の半径

第6章　余弦定理

  • 6.1　第1余弦定理
  • 6.2　第2余弦定理
  • 6.3　三平方の定理（ピタゴラスの定理）
  • 6.4　まとめ
  • 付録A　三角関数とは
  • 付録B　球面三角形の面積
  • 付録C　正弦関数と余弦関数の一般化
  • 付録D　その他の定理たち
  • 読書案内
  • 索引
  • あとがき
  • 著者プロフィール

プロフィール

市原一裕（いちはらかずひろ）

日本大学文理学部数学科教授。1972年生まれ。専門は、低次元位相幾何学、特に三次元多様体論、および数学教育学。主な著書『低次元の幾何からポアンカレ予想へ』（技術評論社、2018 年）、教科書執筆『高等学校「数学」』など（数研出版）、論文“Exceptional surgeries on alternating knots”（共著、Communications in Analysis and Geometry、2016年）など。

牛島顕（うしじまあきら）

兵庫県立大学国際商経学部教授。1971年生まれ。専門は、双曲幾何学。論文“Ceva’s and Menelaus’ theorems for higherdimensional simplexes”（単著、Journal of Geometry、2019年）など。