• まえがき

【入門編】 素数ほど面白い数はない

• 素数ってなに？なんで注目されるの？
• 数学者は素数が大好き
• 素数は不規則に出現する
• 素数の末尾はいくつ？
• 素数の末尾に偏りはあるの？
• 双子素数予想
• ゴールドバッハ予想
• メルセンヌ素数
• Column　素数魔法陣

【初段編】 なぜ，素数は無限にある？

• 素数は無限にある
• ユークリッド-マリン数列
• もう一つのユークリッド-マリン数列
• 4で割った余りでの分類
• 4n＋3型素数が無限にある理由
• 4n+1型素数が無限にある理由
• 4n+1型素数と4n+3型素数は同じくらいある

【二段編】 数列の中の素数

• 素数を生み出す式
• 等差数列の中の素数
• 等差数列を成す素数
• 「素数による等差数列の定理」を証明しよう
• いくらでも長い「素数による等差数列」が存在する
• 2次式の数列の素数
• 指数関数で作られる数列
• リュカ-レーマーの判定法
• フェルマー数とフェルマー素数
• オイラーのアプローチ
• 素数を生成する多項式

【三段編】 対数関数と素数

• 対数関数と素数
• 底が2の対数関数
• 対数法則ってどんな法則？
• ネピア定数と自然対数
• 素数の個数を表す関数
• 偉大なる素数定理
• 素数定理は，どの程度の近似を実現するか？
• 素数の「出現確率」
• 素数を数えるチェビシェフ関数
• チェビシェフの不等式
• チェビシェフ第2関数と素数定理
• チェビシェフ関数定理の証明を直感的に理解する
• Column　オイラーのフェルマー素数の約数発見法

【四段編】 合同式と素数とRSA暗号 ～フェルマーの小定理，オイラーの定理

• 数が社会で役立つ時代
• RSA暗号とはどんな暗号か
• フェルマーの小定理
• 擬素数
• オイラーの定理
• ウィルソンの定理
• 合同になじもう
• 合同式の操作は等式のものとほとんど同じ
• 定理たちを証明しよう
• オイラーの定理の証明
• ウィルソンの定理は，「逆数」と関係する
• RSA暗号を支える原理
• なぜ， 難攻不落の暗号なのか？

【五段編】 順列・組合せと素数 ～素数定理への最初のアプローチ

• 順列・組合せと素数は仲良し
• nCrの公式を理解する
• 2項定理
• 組合せ数からフェルマーの小定理へ
• nCrは特別な存在
• 2nCnの素因数を調べる
• 2nを割った商が奇数の素数
• 2nCnの近似素因数分解
• 組合せ数2nCnの素因数分解
• 2nCnの大きさをおおざっぱに見積もる
• いよいよ，素数定理のからくりを解明する

【六段編】 無限和と素数 ～オイラーの大発見

• オイラーの新発見
• 無限個の数を加え合わせる
• 有限になる無限和・無限になる無限和
• 無限和が教えてくれること
• エルデシュ分解
• 「オイラーの素数定理」を証明しよう
• 双子素数の逆数和
• エルデシュ分解のパワー

【七段編】 虚数と素数

• 不思議な数・虚数
• フェルマーの2平方定理
• 空想の楽園～複素数
• 2次元の数世界～複素数
• ガウス整数
• 2平方定理とガウス素数
• 平方剰余
• ガウス素数と平方剰余
• －1は平方剰余となる素数
• 2次体の整数論が花開く

【八段編】 素数と微分積分

• 微分積分は数学最強のツール
• 微積分は素数とも相性がいい
• 関数を局所的に見る
• 微分係数は接線の傾き
• 極値への応用
• 2次近似を利用する
• 微分係数とランダウ記号
• ランダウ記号を正式に定義しよう
• 微分係数は極限で求められる
• 多項式の微分係数
• テイラー展開と無次元の多項式
• 1次近似式を集計する
• 素数と積分の関係

【九段編】 ラマヌジャンとベルトラン=チェビシェフの定理 ～ψ(x)による証明

• ベルトラン予想
• 異色の天才ラマヌジャン
• チェビシェフ第1関数とチェビシェフ第2関数
• 証明のナビを見ておく
• 階乗数の素因数分解
• T(x)とψ(x)の関係を発見する
• T(x)の値を近似する
• チェビシェフ第2関数を評価する
• 証明を完成しよう

【A級編】複素数上の微分積分

• （A級その1）三角関数と複素数
• （A級その2）オイラーの公式
• （A級その3）指数が複素数のべき乗計算
• （A級その4）三角関数のテイラー展開
• （A級その5）複素関数としての対数関数
• （A級その6）複素関数の微分
• （A級その7）正則関数のテイラー展開
• （A級その8）複素べき乗関数の微分と「一般化された2項定理」
• （A級その9）複素関数の積分
• （A級その10）コーシーの積分定理
• （A級その11）コーシーの積分公式
• ガンマ関数
• （A級その12）ガンマ関数を解析接続する

【名人編】 ゼータ関数・リーマン予想・素数定理

• ゼータ関数は素数のすみか
• 有限ゼータ関数
• 関数等式とはどんな等式か
• 有限ゼータ関数ではオイラー積は当たり前
• 零点の分布
• バーゼル問題
• 無限個の因数分解
• 自然数s乗の逆数和の収束と発散
• 発散級数の和
• ゼータ関数と素数が結びつく
• オイラー積を応用する
• 天才リーマンの登場！
• 等差数列の中の素数～ディリクレの算術級数定理
• 発散級数を計算する解析接続
• リーマン・ゼータ関数の関数等式
• 難攻不落のリーマン予想
• 虚の零点はどのように分布しているか？
• 素数の個数をぴったり計算する式
• 明示公式から素数定理を証明する
• ペロンの公式
• 明示公式に到達しよう
• 素数名人の称号！

• あとがき
• 参考文献，かつ，お勧めの本
• 索引
• 著者略歴